Umformungen und Verfahrenswahl

Transformations and choosing a method

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben

Lineare GleichungssystemeGleichungenModellieren

Jeder Schritt der Rechenverfahren ist eine Umformung, die die Lösung erhält: eine Gleichung ganz mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, Gleichungen addieren oder abziehen; jeder Schritt lässt sich umkehren. Die Station zeigt am Punkt (5 | 3), dass er auf jeder so umgeformten Geraden bleibt, vergleicht die Verfahren nach ihrer Effektivität (die Form der Gleichungen entscheidet) und übt den Antwortsatz mit Einheit und die Plausibilitätsprobe im Text. Sie räumt das einseitige Multiplizieren (Vlassis 2002), Verfahren nach Gewohnheit und Antworten mit negativen Anzahlen aus (Verschaffel et al. 2000). Bereitet das Gauß-Verfahren und das Modellieren vor.

Was die Lösung erhält

Jeder Schritt der Verfahren ist eine Umformung, bei der die Lösung erhalten bleibt: eine Gleichung ganz mit einer Zahl ungleich null multiplizieren oder eine Gleichung zu einer anderen addieren, während die andere stehen bleibt. Jeder Schritt lässt sich umkehren: Wer $6 x + 4 y = 42$ durch 2 teilt, hat wieder $3 x + 2 y = 21$ . Deshalb darf man Schritt für Schritt umformen und am Ende die Lösung ablesen: Es ist dieselbe wie am Anfang. Mit null darf man nicht multiplizieren: Aus 0 = 0 ließe sich nichts mehr über x und y ablesen.

Nicht erlaubt ist, nur eine Seite zu verändern. Im Bild liegt P(5 | 3) auf I: x + y = 8. Multipliziert man I ganz mit k, bleibt es dieselbe cyanfarbene Gerade. Multipliziert man nur die linke Seite, entsteht die rot gestrichelte Gerade, und P liegt nicht mehr darauf.

Ändere k. Was passiert mit der roten Geraden, und wann stimmen der erste und der zweite Chip überein?

Das passende Verfahren

Alle Verfahren führen zur selben Lösung, aber nicht gleich schnell; die Wahl ist eine Frage des Aufwands, nicht der Richtigkeit. Ist eine Gleichung schon nach einer Unbekannten aufgelöst, etwa $y = 3 x - 2$ , setzt man ein; stehen zwei Gleichungen $y = \dots$ da, setzt man die rechten Seiten gleich. Bei gleichen oder gegengleichen Koeffizienten addiert oder subtrahiert man. Nur wenn nichts passt, multipliziert man zuerst. Das Zeichnen zeigt gut, wie viele Lösungen es gibt, ist für das genaue Ergebnis aber selten genau genug.

Am Ende steht die Antwort im Sachzusammenhang, mit Einheit und im ganzen Satz: „Eine Erwachsenenkarte kostet 5 €, eine Kinderkarte 3 €.“ Man prüft sie am Text. Ein negativer Preis oder 2,5 Personen zeigen einen Fehler im Ansatz.

Die Form der Gleichungen zeigt das Verfahren: schon aufgelöst, passende Koeffizienten oder nichts davon.

Voraussetzungen (2)

Das Einsetzungsverfahren

Klasse 8

›

Das Additionsverfahren

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das abgebildete System hat die Lösung (5 | 3). Welches System hat dieselbe Lösung?

● I: 3x + 3y = 24; II: 2x + y = 13
○ I: 3x + y = 24; II: 2x + y = 13
○ I: 3x + 3y = 8; II: 2x + y = 13

Hier wurde I ganz mit 3 multipliziert (3x + 3y = 24), (5 | 3) erfüllt weiter beide Gleichungen. In 3x + y = 24 ist nur der x-Term verdreifacht (18 ≠ 24), in 3x + 3y = 8 nur die linke Seite (24 ≠ 8).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ersetzt man in I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 die Gleichung II durch II − I, so hat das neue System I: x + y = 8; II: x = 5 noch die Lösung (5 | 3).

✓ Wahr

II − I: (2x − x) + (y − y) = 13 − 8, also x = 5. (5 | 3) erfüllt x = 5 und weiter auch x + y = 8: Beim Abziehen bleibt I erhalten, darum bleibt die Lösung.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

P(5 | 3) liegt auf der cyanen Geraden I: x + y = 8. Von den drei Gleichungen unten hat genau eine P als Lösung verloren; ihre Gerade ist orange gezeichnet. Welche ist es?

● 2x + 2y = 8
○ 2x + 2y = 16
○ 3x + 3y = 24

Die orange Gerade schneidet die y-Achse bei 4 und geht nicht durch P: In 2x + 2y = 8 wurde nur die linke Seite verdoppelt, (5 | 3) ist keine Lösung mehr, denn 10 + 6 = 16 ≠ 8. 2x + 2y = 16 und 3x + 3y = 24 sind ganz mit 2 bzw. 3 multipliziert und liegen auf I selbst.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?

● Einsetzen: y = 3x − 2 in II
○ Beide Gleichungen mit 3 multiplizieren, dann addieren
○ Zeichnen und den Schnittpunkt ablesen

In I ist y schon frei: 2x + (3x − 2) = 13 → x = 3, y = 7. Zuerst zu multiplizieren wäre ein Umweg, und Zeichnen liefert bei (3 | 7) nur mit Glück ein exaktes Paar.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?

● Addieren: +2y und −2y heben sich auf
○ Einsetzen: I nach x auflösen (mit Bruch)
○ Zeichnen und den Schnittpunkt ablesen

Bei y stehen +2y und −2y: I + II gibt 8x = 16 mit einem Schritt. Einsetzen führt auf Brüche, und beim Zeichnen bleibt das Ergebnis ungenau.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?

● I mit 3 und II mit 2 multiplizieren, dann addieren
○ Direkt addieren
○ Einsetzen: I nach x auflösen (mit Bruch)

Kein Koeffizient ist 1 oder passend: Direktes Addieren lässt nichts wegfallen, und Einsetzen führt auf Brüche. Mit 3 · I: 9x + 6y = 21 und 2 · II: 8x − 6y = −4 heben sich die y-Terme auf, 17x = 17.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei I: y = 2x + 1; II: y = −x + 7 kann man die rechten Seiten gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7.

✓ Wahr

Beide Terme sind gleich y, also sind sie gleich. Das ist ein Sonderfall des Einsetzens: 3x = 6, x = 2, y = 5.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein System liefert x = 5 (Erwachsenenkarte in €) und y = 3 (Kinderkarte in €). Welcher Antwortsatz ist vollständig?

● Eine Erwachsenenkarte kostet 5 €, eine Kinderkarte 3 €.
○ Die Lösung des Systems ist das Paar x = 5 und y = 3.
○ Ein Erwachsener und ein Kind zahlen zusammen 8 €.

Der Antwortsatz übersetzt x und y zurück in die Sache und nennt die Einheit. Das Paar allein bleibt im Rechenjargon, die Summe 8 € beantwortet die Frage nach den Einzelpreisen nicht.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Aus einem System für die Zahl der Fahrräder (x) und Dreiräder (y) folgt x = −3. Was schließt du daraus?

● Der Ansatz enthält einen Fehler, denn eine Anzahl ist nicht negativ
○ Es sind 3 Fahrräder, das Minus ist unwichtig
○ Es gibt 3 Fahrräder weniger als Dreiräder

Eine Anzahl kann nicht −3 sein. Das Ergebnis passt nicht zur Sache, also muss beim Aufstellen oder Rechnen ein Fehler passiert sein; das Minus darf man nicht einfach streichen oder umdeuten.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Ein System für die Zahl der Mitfahrer liefert x = 2,5. Die Antwort „Es fahren 2,5 Personen mit.“ ist sinnvoll.

✓ Falsch

Personen kann man nicht halb zählen. Ein solches Ergebnis zeigt, dass Ansatz oder Rechnung nicht stimmen – man prüft das Ergebnis immer am Text.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Multipliziere I: x + y = 8 ganz mit 3. Welche Zahl steht dann rechts vom Gleichheitszeichen?

✓ Antwort: 24

3x + 3y = 24: Die rechte Seite wird mit 3 multipliziert, 3 · 8 = 24, sonst wäre es eine andere Gleichung.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Gleichsetzen bei I: y = 2x + 1; II: y = −x + 7 führt auf 3x = c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 6

2x + 1 = −x + 7 → 2x + x = 7 − 1 → 3x = 6.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Prüfe im Text: Mit x = 5 € (Erwachsene) und y = 3 € (Kinder) kosten 2 Erwachsene und 3 Kinder zusammen wie viel (in €)?

✓ Antwort: 19

2 · 5 € + 3 · 3 € = 10 € + 9 € = 19 €. Diese Textprobe kontrolliert das Ergebnis am ursprünglichen Sachverhalt.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das System I: 2x + y = 11; II: 3x + y = 15 hat dieselbe Lösung wie das System I: 2x + y = 11; II: x = c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 4

Man ersetzt II durch II − I: (3x − 2x) + (y − y) = 15 − 11, also x = 4. Diese Umformung erhält die Lösung, darum gilt c = 4. (Dann y = 11 − 2 · 4 = 3.)

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei Zahlen haben die Summe 10 und die Differenz 4 (x − y = 4). Wie groß ist die größere Zahl x?

✓ Antwort: 7

I: x + y = 10, II: x − y = 4. I + II: 2x = 14, also x = 7 (und y = 3).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Klasse mietet 8 Boote, 2er- und 3er-Boote (x = Zahl der 2er-Boote, y = Zahl der 3er-Boote). Zusammen haben sie 20 Plätze. Wie viele 3er-Boote sind es?

✓ Antwort: 4

I: x + y = 8, II: 2x + 3y = 20. Aus I: x = 8 − y; eingesetzt: 2(8 − y) + 3y = 20 → 16 + y = 20 → y = 4. Es sind 4 Boote mit 3 Plätzen (und 4 mit 2 Plätzen).

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Verleih hat Zweiräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 26 Rädern. Lege die Unbekannten fest, stelle das Gleichungssystem auf, löse es mit einem passenden Verfahren, prüfe das Ergebnis im Text und schreibe einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = Zahl der Zweiräder, y = Zahl der Dreiräder. I: x + y = 10; II: 2x + 3y = 26. Aus I: x = 10 − y; einsetzen: 2(10 − y) + 3y = 26 → 20 + y = 26 → y = 6, x = 4. Textprobe: 4 + 6 = 10 Fahrzeuge, 2 · 4 + 3 · 6 = 8 + 18 = 26 Räder ✓. Antwort: Es sind 4 Zweiräder und 6 Dreiräder.

x + y = 10, 2x + 3y = 26 → y = 6, x = 4. Probe im Text: 10 Fahrzeuge, 8 + 18 = 26 Räder. Antwort: 4 Zweiräder und 6 Dreiräder.