Bogenmaß
Welcher Wert im Bogenmaß entspricht einem Vollwinkel (360°)?
Erklärung: Am Einheitskreis ist der Umfang 2π, also entspricht 360° dem Bogenmaß 2π. Wer π wählt, verwechselt den Vollwinkel mit dem gestreckten Winkel (180°).
90° im Bogenmaß ist ___.
Erklärung: 90° · π/180 = π/2.
180° im Bogenmaß ist ___.
Erklärung: 180° · π/180 = π.
30° im Bogenmaß ist ___.
Erklärung: 30° · π/180 = π/6.
Wandle 45° ins Bogenmaß um. Der Wert ist π/n — wie lautet n?
Erklärung: 45° · π/180 = π/4, also n = 4.
Wandle 120° ins Bogenmaß um. Der Wert ist zπ/3 — wie lautet z?
Erklärung: 120° · π/180 = 2π/3, also z = 2.
Wandle 5π/6 ins Gradmaß um.
Erklärung: 5π/6 · 180/π = 5·30 = 150°.
Wandle 7π/6 ins Gradmaß um.
Erklärung: 7π/6 · 180/π = 7·30 = 210°.
Welcher Winkel im Gradmaß entspricht 3π/4?
Erklärung: 3π/4 · 180/π = 3·45 = 135°. Wer 270° wählt, rechnet ¾ von 360° und behandelt den Koeffizienten als Bruchteil des Vollwinkels; 45° entsteht, wenn man den Faktor 3 im Zähler unterschlägt.
Wandle −30° ins Bogenmaß um. Der Wert ist −π/n — wie lautet n?
Erklärung: −30° · π/180 = −π/6, also n = 6. Das Vorzeichen bleibt beim Umrechnen erhalten.
Wandle 300° ins Bogenmaß um. Der Wert ist zπ/3 — wie lautet z?
Erklärung: 300° · π/180 = 5π/3, also z = 5.
Ein Kreisbogen am Einheitskreis hat die Länge π/4. Welcher Winkel gehört dazu?
Erklärung: Am Einheitskreis stimmt die Bogenlänge mit dem Bogenmaß überein: π/4 entspricht 45°. Die Bogenlänge muss nicht erst umgerechnet werden — sie ist der Winkel im Bogenmaß.
Ein Taschenrechner steht im Bogenmaß-Modus (rad). Du tippst sin(30) ein, um sin(30°) zu berechnen. Was liefert der Rechner?
Erklärung: 30 ohne Gradzeichen liest der Rechner im rad-Modus als 30 Radiant (≈ 1719°) — nicht als 30°. Man muss 30° erst mit π/180 umrechnen oder in den Grad-Modus wechseln.
Welcher der drei Winkel ist am größten?
Erklärung: Bogenmaße sind reine Zahlen: π/2 ≈ 1,57 und 1 sind kleiner als 2. Ein rechter Winkel ist π/2 ≈ 1,57, also ist der Winkel 2 (rad) sogar etwas größer als ein rechter Winkel.
Welcher Winkel liegt im III. Quadranten?
Erklärung: 5π/4 = 225°, und 180° < 225° < 270° — das ist der III. Quadrant. 3π/4 = 135° liegt im II., π/4 = 45° im I. Quadranten.
π/2 im Bogenmaß ist größer als 100°.
Erklärung: Falsch. π/2 entspricht 90°, und 90° < 100°. Wer π/2 ≈ 1,57 unbesehen mit einer Gradzahl vergleicht, behandelt das Bogenmaß wie eine Gradangabe.
Am Einheitskreis (r = 1) hat der Kreisbogen zum Winkel π/3 die Länge π/3.
Erklärung: Richtig. Bei r = 1 ist die Bogenlänge b = r·φ = φ. Für φ = π/3 ist die Bogenlänge also π/3 — am Einheitskreis stimmt die Bogenlänge stets mit dem Bogenmaß des Winkels überein.