Bogenmaß

Radian Measure

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisBogenmaßKerncurriculum

Der Winkel wird nicht mehr in willkürlichen 360 Teilen gemessen, sondern als Länge des zugehörigen Kreisbogens am Einheitskreis (r = 1): Ein Vollwinkel ist 2π, weil der Umfang 2π beträgt. Diese Grundvorstellung „Winkel als Bogenlänge" (Moore 2013) trägt die Umrechnung Grad↔Bogenmaß über den Faktor π/180 und beugt dem hartnäckigen Fehler vor, einen Radiant-Wert wie eine Gradzahl zu behandeln (sin(30) im rad-Modus). Sie ist die Voraussetzung dafür, dass Sinus und Kosinus als Funktionen einer reellen Variablen über der Zahlengeraden aufgetragen werden können.

Voraussetzungen (2)

Kreisumfang und Kreisfläche
Klasse 8
›
Winkel messen und zeichnen
Klasse 5
›

Ermöglicht (1)

Sinus- und Kosinusfunktion
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 12s ▶ Testen

Welcher Wert im Bogenmaß entspricht einem Vollwinkel (360°)?

  • ● 2π
  • ○ π
  • ○ 4π
Am Einheitskreis ist der Umfang 2π, also entspricht 360° dem Bogenmaß 2π. Wer π wählt, verwechselt den Vollwinkel mit dem gestreckten Winkel (180°).
Lückentext #2 10s ▶ Testen

90° im Bogenmaß ist ___.

✓ Antwort: π/2
90° · π/180 = π/2.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

180° im Bogenmaß ist ___.

✓ Antwort: π
180° · π/180 = π.
Lückentext #4 10s ▶ Testen

30° im Bogenmaß ist ___.

✓ Antwort: π/6
30° · π/180 = π/6.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Wandle 45° ins Bogenmaß um. Der Wert ist π/n — wie lautet n?

✓ Antwort: 4
45° · π/180 = π/4, also n = 4.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Wandle 5π/6 ins Gradmaß um.

✓ Antwort: 150
5π/6 · 180/π = 5·30 = 150°.
Wahr / Falsch #7 12s ▶ Testen

Am Einheitskreis (r = 1) hat der Kreisbogen zum Winkel π/3 die Länge π/3.

✓ Wahr
Richtig. Bei r = 1 ist die Bogenlänge b = r·φ = φ. Für φ = π/3 ist die Bogenlänge also π/3 — am Einheitskreis stimmt die Bogenlänge stets mit dem Bogenmaß des Winkels überein.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Wandle 120° ins Bogenmaß um. Der Wert ist zπ/3 — wie lautet z?

✓ Antwort: 2
120° · π/180 = 2π/3, also z = 2.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Wandle 7π/6 ins Gradmaß um.

✓ Antwort: 210
7π/6 · 180/π = 7·30 = 210°.
Multiple Choice #3 18s ▶ Testen

Welcher Winkel im Gradmaß entspricht 3π/4?

  • ● 135°
  • ○ 270°
  • ○ 45°
3π/4 · 180/π = 3·45 = 135°. Wer 270° wählt, rechnet ¾ von 360° und behandelt den Koeffizienten als Bruchteil des Vollwinkels; 45° entsteht, wenn man den Faktor 3 im Zähler unterschlägt.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Wandle −30° ins Bogenmaß um. Der Wert ist −π/n — wie lautet n?

✓ Antwort: 6
−30° · π/180 = −π/6, also n = 6. Das Vorzeichen bleibt beim Umrechnen erhalten.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Wandle 300° ins Bogenmaß um. Der Wert ist zπ/3 — wie lautet z?

✓ Antwort: 5
300° · π/180 = 5π/3, also z = 5.
Multiple Choice #6 18s ▶ Testen

Ein Kreisbogen am Einheitskreis hat die Länge π/4. Welcher Winkel gehört dazu?

  • ● 45°
  • ○ 90°
  • ○ 180°
Am Einheitskreis stimmt die Bogenlänge mit dem Bogenmaß überein: π/4 entspricht 45°. Die Bogenlänge muss nicht erst umgerechnet werden — sie ist der Winkel im Bogenmaß.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher der drei Winkel ist am größten?

  • ● 2
  • ○ π/2
  • ○ 1
Bogenmaße sind reine Zahlen: π/2 ≈ 1,57 und 1 sind kleiner als 2. Ein rechter Winkel ist π/2 ≈ 1,57, also ist der Winkel 2 (rad) sogar etwas größer als ein rechter Winkel.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welcher Winkel liegt im III. Quadranten?

  • ● 5π/4
  • ○ 3π/4
  • ○ π/4
5π/4 = 225°, und 180° < 225° < 270° — das ist der III. Quadrant. 3π/4 = 135° liegt im II., π/4 = 45° im I. Quadranten.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

π/2 im Bogenmaß ist größer als 100°.

✓ Falsch
Falsch. π/2 entspricht 90°, und 90° < 100°. Wer π/2 ≈ 1,57 unbesehen mit einer Gradzahl vergleicht, behandelt das Bogenmaß wie eine Gradangabe.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Taschenrechner steht im Bogenmaß-Modus (rad). Du tippst sin(30) ein, um sin(30°) zu berechnen. Was liefert der Rechner?

  • ● sin von 30 im Bogenmaß, also einen völlig anderen Wert (≈ −0,99)
  • ○ sin(30°) ≈ 0,5, wie gewünscht
  • ○ sin(0,5°), weil er 30 halbiert
30 ohne Gradzeichen liest der Rechner im rad-Modus als 30 Radiant (≈ 1719°) — nicht als 30°. Man muss 30° erst mit π/180 umrechnen oder in den Grad-Modus wechseln.