Alles zusammen am Einheitskreis
Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?
Erklärung: Ein Punkt liegt genau dann auf dem Einheitskreis, wenn x² + y² = 1 gilt. 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1. Die anderen Paare ergeben 1,28 bzw. 1,17.
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,6 | 0,8). Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin α ist die y-Koordinate von P, also 0,8. Die 0,6 ist die x-Koordinate (cos α).
cos 180° = ?
Erklärung: Bei 180° liegt P bei (−1 | 0). Die x-Koordinate ist −1, also cos 180° = −1.
sin 90° = ?
Erklärung: Bei 90° liegt P bei (0 | 1). Die y-Koordinate ist 1, also sin 90° = 1.
Welches Vorzeichen hat sin 290°?
Erklärung: 290° liegt im IV. Quadranten, unterhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist negativ.
In welchem Quadranten liegt der Winkel 340°?
Erklärung: 270° < 340° < 360°, also liegt der Winkel im IV. Quadranten. 340° liegt zwar nahe bei 360°/0°, aber noch nicht wieder im I. Quadranten; der III. Quadrant endet bereits bei 270°.
Welchen exakten Wert hat sin 315°?
Erklärung: sin 315° = sin(360° − 45°) = −sin 45° = −√2/2. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.
Welchen exakten Wert hat cos 60°?
Erklärung: cos 60° = 1/2. Die √3/2 wäre cos 30° — die beiden Anker werden oft verwechselt.
sin 330° = ? (als Dezimalzahl)
Erklärung: sin 330° = sin(360° − 30°) = −sin 30° = −0,5. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.
Welchen exakten Wert hat sin 240°?
Erklärung: sin 240° = sin(180° + 60°) = −sin 60° = −√3/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.
cos 300° = ? (als Dezimalzahl)
Erklärung: cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 0,5. Im IV. Quadranten ist der Kosinus positiv.
cos(−80°) = cos 80°.
Erklärung: Der Kosinus ist gerade — beim Wechsel zu −α bleibt die x-Koordinate gleich.
sin(−70°) = −sin 70°.
Erklärung: Der Sinus ist ungerade — beim Spiegeln an der x-Achse kehrt sich die y-Koordinate um.
Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −750° äquivalent?
Erklärung: −750° + 2 · 360° = −30°, und −30° + 360° = 330°. Also ist −750° äquivalent zu 330°.
Setze ein: sin²37° + cos²37° = ___
Erklärung: Der trigonometrische Pythagoras gilt für jeden Winkel: sin²α + cos²α = 1, also auch für 37°.
sin α = 0,96 und α liegt im II. Quadranten. Wie groß ist cos α?
Erklärung: Aus sin²α + cos²α = 1 folgt cos²α = 1 − 0,9216 = 0,0784, also |cos α| = 0,28. Im II. Quadranten ist cos negativ, also −0,28. Die 0,04 rechnet fälschlich 1 − 0,96.
cos α = −0,96 und α liegt im III. Quadranten. Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin²α = 1 − 0,9216 = 0,0784, also |sin α| = 0,28. Im III. Quadranten ist sin negativ, also −0,28.
Der Winkel 720° und der Winkel 0° sind äquivalent.
Erklärung: 720° = 0° + 2 · 360°. Nach zwei vollen Umdrehungen ist man wieder am Ausgangspunkt.
Berechne sin 135° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: 135° = 180° − 45°, also sin 135° = sin 45° = √2/2 ≈ 0,71. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv.
Berechne cos(−150°) (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: cos(−α) = cos α, also cos(−150°) = cos 150° = −cos 30° = −√3/2 ≈ −0,87.
Ein Winkel α liegt zwischen 180° und 270° und hat cos α = −0,8. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: sin²α = 1 − 0,64 = 0,36, also |sin α| = 0,6. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ, also −0,6.
Ergänze den koterminalen Winkel zwischen 0° und 360°: sin 480° = sin ___
Erklärung: 480° − 360° = 120°. Eine volle Umdrehung ändert den Punkt auf dem Einheitskreis nicht.
Für einen Winkel α im II. Quadranten ist sin α = 0,6. Zeichne einen
Einheitskreis mit dem Punkt P, berechne cos α mit dem
trigonometrischen Pythagoras, achte auf das Vorzeichen und bestimme
danach tan α.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Betrag kommt aus sin²α + cos²α = 1, das Vorzeichen aus der Lage von P. Im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also sind cos α und tan α negativ.
Berechne cos 225° über Quadrant und Bezugswinkel (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: 225° liegt im III. Quadranten, dort ist der Kosinus negativ; der Bezugswinkel ist 225° − 180° = 45° mit cos 45° = √2/2 ≈ 0,71 - also cos 225° ≈ −0,71.
Ein Winkel liegt im IV. Quadranten und hat den Bezugswinkel 35° zur x-Achse. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ, der Betrag ist sin 35° ≈ 0,57 - also sin α ≈ −0,57 (der Winkel selbst ist 360° − 35° = 325°).
Wie groß ist der Referenzwinkel von 210°?
Erklärung: 210° liegt im III. Quadranten, 30° hinter der negativen x-Achse — der Referenzwinkel ist 210° − 180° = 30°. 60° ist der Winkel zur y-Achse, 150° = 360° − 210° gehört zum IV. Quadranten.
Wie groß ist der Referenzwinkel von 135° (in Grad)?
Erklärung: 135° liegt im II. Quadranten; bis zur negativen x-Achse fehlen 180° − 135° = 45°.
Bestimme cos 240° über den Referenzwinkel, ohne Taschenrechner (als Dezimalzahl).
Erklärung: 240° liegt im III. Quadranten, also ist cos 240° negativ. Referenzwinkel 240° − 180° = 60°, cos 60° = 0,5 — also cos 240° = −0,5.