Alles zusammen am Einheitskreis

Everything together on the unit circle

Mathematik Klasse 10 28 Aufgaben

TrigonometrieEinheitskreisWinkelKerncurriculum

Am Einheitskreis sind Sinus und Kosinus eines beliebigen Winkels die Koordinaten des zugehörigen Punktes P: cos α ist die x-, sin α die y-Koordinate — so ist cos 120° = −½ und sin 120° = √3/2. Der Einheitskreis setzt das Seitenverhältnis des rechtwinkligen Dreiecks auf ganz ℝ fort (Weber 2005) und trägt das spätere Verständnis von Sinus und Kosinus als periodische Funktionen einer reellen Variablen. Er bündelt Punktdarstellung, Koordinatendefinition, Quadranten-Vorzeichen, Sonderwerte, Supplement- und Negativwinkel und den trigonometrischen Pythagoras zu einem Werkzeug. Räumt die Distraktorfamilie aus: Sinus als bloße Zahl, „sin 120° undefiniert", Quadranten-Vorzeichenfehler und die √3/2-1/2-Verwechslung.

Für $sin 210°$ braucht man alle Werkzeuge zusammen, in einer festen Reihenfolge — ein Verfahren, das für jeden Winkel funktioniert. Auswendig können musst du dafür nur die fünf Sonderwerte.

Quadranten bestimmen. Wo landet der Punkt $P$ , wenn du von der positiven x-Achse aus drehst?
Vorzeichen ablesen. cos α ist die x-Koordinate, sin α die y-Koordinate — das Vorzeichen steht damit schon fest, bevor du eine Zahl kennst.
Auf den Referenzwinkel reduzieren. Das ist der spitze Winkel zwischen $O P$ und der x-Achse — nie der zur y-Achse: Bei 210° sind es 30°, nicht 60°. In der Figur unten steht er im Chip $α_{ref}$ .
Sonderwert einsetzen. Exakt geht das, wenn der Referenzwinkel $30°$ , $45°$ oder $60°$ ist; sonst liefert der Taschenrechner den Wert.
Probe. $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ muss aufgehen.

Durchlauf: $α = 210°$ . $210°$ liegt zwischen $180°$ und $270°$ — III. Quadrant. Dort sind x-Koordinate und y-Koordinate beide negativ, also sind $cos 210°$ und $sin 210°$ negativ. Der Referenzwinkel ist $210° - 180° = 30°$ . Mit $sin 30° = \frac{1}{2}$ und $cos 30° = \frac{3}{2}$ :

$sin 210° = - \frac{1}{2} = - 0, 5$ $cos 210° = - \frac{3}{2} \approx - 0, 866$ Probe: $0, 25 + 0, 75 = 1 ✓$

Stimmen bei

210°

Quadrant, Vorzeichen und

α_{ref}

mit dem Durchlauf überein? Zieh α dann bis

315°

— welcher Referenzwinkel steht jetzt da?

Die Zahl $- 0, 5$ hat jetzt einen Ort: Sie ist die y-Koordinate von P bei 210°, einen halben Radius unter der x-Achse. Das Verfahren rechnet in Grad und liest Sinus und Kosinus als Koordinaten eines Punkts. Später misst man Winkel im Bogenmaß und zeichnet sin α und cos α als Graphen über α.

Voraussetzungen (3)

Stumpfe und überstumpfe Winkel

Klasse 10

›

Negative Winkel und Periodizität

Klasse 10

›

Der trigonometrische Pythagoras

Klasse 10

›

Ermöglicht (5)

Sinus- und Kosinusfunktion

Klasse 10

›

Sinusförmige Wechselspannung

Klasse 12

›

Sinussatz und Kosinussatz – Angewandte Dreiecksberechnungen

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?

● (0,8 | 0,6)
○ (0,8 | 0,8)
○ (0,6 | 0,9)

Ein Punkt liegt genau dann auf dem Einheitskreis, wenn x² + y² = 1 gilt. 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1. Die anderen Paare ergeben 1,28 bzw. 1,17.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,6 | 0,8). Wie groß ist sin α?

● 0,8
○ 0,6
○ 1

sin α ist die y-Koordinate von P, also 0,8. Die 0,6 ist die x-Koordinate (cos α).

Multiple Choice #3 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 290°?

● negativ
○ positiv
○ null

290° liegt im IV. Quadranten, unterhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist negativ.

Multiple Choice #4 10s ▶ Testen

In welchem Quadranten liegt der Winkel 340°?

● IV. Quadrant
○ I. Quadrant
○ III. Quadrant

270° < 340° < 360°, also liegt der Winkel im IV. Quadranten. 340° liegt zwar nahe bei 360°/0°, aber noch nicht wieder im I. Quadranten; der III. Quadrant endet bereits bei 270°.

Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 315°?

● −√2/2
○ √2/2
○ −1/2

sin 315° = sin(360° − 45°) = −sin 45° = −√2/2. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.

Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 60°?

● 1/2
○ √3/2
○ √2/2

cos 60° = 1/2. Die √3/2 wäre cos 30° — die beiden Anker werden oft verwechselt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 240°?

● −√3/2
○ √3/2
○ −1/2

sin 240° = sin(180° + 60°) = −sin 60° = −√3/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

cos(−80°) = cos 80°.

✓ Wahr

Der Kosinus ist gerade — beim Wechsel zu −α bleibt die x-Koordinate gleich.

Wahr / Falsch #9 10s ▶ Testen

sin(−70°) = −sin 70°.

✓ Wahr

Der Sinus ist ungerade — beim Spiegeln an der x-Achse kehrt sich die y-Koordinate um.

Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −750° äquivalent?

● 330°
○ 30°
○ 210°

−750° + 2 · 360° = −30°, und −30° + 360° = 330°. Also ist −750° äquivalent zu 330°.

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

sin α = 0,96 und α liegt im II. Quadranten. Wie groß ist cos α?

● −0,28
○ 0,28
○ 0,04

Aus sin²α + cos²α = 1 folgt cos²α = 1 − 0,9216 = 0,0784, also |cos α| = 0,28. Im II. Quadranten ist cos negativ, also −0,28. Die 0,04 rechnet fälschlich 1 − 0,96.

Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

cos α = −0,96 und α liegt im III. Quadranten. Wie groß ist sin α?

● −0,28
○ 0,28
○ −0,04

sin²α = 1 − 0,9216 = 0,0784, also |sin α| = 0,28. Im III. Quadranten ist sin negativ, also −0,28.

Wahr / Falsch #13 10s ▶ Testen

Der Winkel 720° und der Winkel 0° sind äquivalent.

✓ Wahr

720° = 0° + 2 · 360°. Nach zwei vollen Umdrehungen ist man wieder am Ausgangspunkt.

Multiple Choice #14 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Referenzwinkel von 210°?

● 30°
○ 60°
○ 150°

210° liegt im III. Quadranten, 30° hinter der negativen x-Achse — der Referenzwinkel ist 210° − 180° = 30°. 60° ist der Winkel zur y-Achse, 150° = 360° − 210° gehört zum IV. Quadranten.

Mittel

Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

cos 180° = ?

✓ Antwort: -1

Bei 180° liegt P bei (−1 | 0). Die x-Koordinate ist −1, also cos 180° = −1.

Zahleneingabe #2 10s ▶ Testen

sin 90° = ?

✓ Antwort: 1

Bei 90° liegt P bei (0 | 1). Die y-Koordinate ist 1, also sin 90° = 1.

Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

sin 330° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: -0.5

sin 330° = sin(360° − 30°) = −sin 30° = −0,5. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

cos 300° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5

cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 0,5. Im IV. Quadranten ist der Kosinus positiv.

Lückentext #5 10s ▶ Testen

Setze ein: sin²37° + cos²37° = ___

✓ Antwort: 1

Der trigonometrische Pythagoras gilt für jeden Winkel: sin²α + cos²α = 1, also auch für 37°.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Berechne sin 135° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.71

135° = 180° − 45°, also sin 135° = sin 45° = √2/2 ≈ 0,71. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv.

Zahleneingabe #7 35s ▶ Testen

Berechne cos(−150°) (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.87

cos(−α) = cos α, also cos(−150°) = cos 150° = −cos 30° = −√3/2 ≈ −0,87.

Lückentext #8 25s ▶ Testen

Ergänze den koterminalen Winkel zwischen 0° und 360°: sin 480° = sin ___

✓ Antwort: 120°

480° − 360° = 120°. Eine volle Umdrehung ändert den Punkt auf dem Einheitskreis nicht.

Zahleneingabe #9 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Referenzwinkel von 135° (in Grad)?

✓ Antwort: 45

135° liegt im II. Quadranten; bis zur negativen x-Achse fehlen 180° − 135° = 45°.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Winkel α liegt zwischen 180° und 270° und hat cos α = −0,8. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.6

sin²α = 1 − 0,64 = 0,36, also |sin α| = 0,6. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ, also −0,6.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Für einen Winkel α im II. Quadranten ist sin α = 0,6. Zeichne einen Einheitskreis mit dem Punkt P, berechne cos α mit dem trigonometrischen Pythagoras, achte auf das Vorzeichen und bestimme danach tan α. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: cos²α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64, also |cos α| = 0,8. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ, also cos α = −0,8. Damit ist tan α = 0,6 / (−0,8) = −0,75.

Der Betrag kommt aus sin²α + cos²α = 1, das Vorzeichen aus der Lage von P. Im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also sind cos α und tan α negativ.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Berechne cos 225° über Quadrant und Bezugswinkel (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.71

225° liegt im III. Quadranten, dort ist der Kosinus negativ; der Bezugswinkel ist 225° − 180° = 45° mit cos 45° = √2/2 ≈ 0,71 - also cos 225° ≈ −0,71.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein Winkel liegt im IV. Quadranten und hat den Bezugswinkel 35° zur x-Achse. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.57

Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ, der Betrag ist sin 35° ≈ 0,57 - also sin α ≈ −0,57 (der Winkel selbst ist 360° − 35° = 325°).

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Bestimme cos 240° über den Referenzwinkel, ohne Taschenrechner (als Dezimalzahl).

✓ Antwort: -0.5

240° liegt im III. Quadranten, also ist cos 240° negativ. Referenzwinkel 240° − 180° = 60°, cos 60° = 0,5 — also cos 240° = −0,5.