Die Exponentialfunktion — Graph und Parameter
Welchen y-Achsenabschnitt hat der Graph von f(x) = 5 · 2ˣ?
Erklärung: f(0) = 5 · 2⁰ = 5 · 1 = 5. Der y-Achsenabschnitt ist der Faktor b, nicht die Basis a — deshalb 5 und nicht 2.
Welchen y-Achsenabschnitt hat der Graph von f(x) = 0,5 · 3ˣ?
Erklärung: f(0) = 0,5 · 3⁰ = 0,5. Der y-Achsenabschnitt ist b = 0,5. Wer 3 wählt, liest die Basis a ab; 1,5 wäre b · a.
Welche waagrechte Asymptote hat der Graph von f(x) = 4 · 2ˣ?
Erklärung: Für x → −∞ geht 2ˣ → 0, also f(x) → 0. Die Asymptote ist die x-Achse y = 0 — der Faktor b = 4 verschiebt sie nicht.
Der Graph von f(x) = 3 · 2ˣ schneidet die x-Achse.
Erklärung: 3 · 2ˣ ist für jedes x größer als 0 — der Graph nähert sich der x-Achse (Asymptote y = 0), erreicht sie aber nie.
Welche Funktion ist streng monoton fallend?
Erklärung: Fallend ist eine Exponentialfunktion genau dann, wenn die Basis 0 < a < 1 ist. Nur 0,7 erfüllt das; 2 und 1,5 sind größer als 1 und steigen.
Welche Funktion ist streng monoton steigend?
Erklärung: Steigend ist f(x) = b · aˣ genau dann, wenn a > 1. Nur 1,2 ist größer als 1; 0,8 und 0,5 liegen zwischen 0 und 1 und fallen.
Der Graph von f(x) = 0,5 · 2ˣ fällt, weil der Faktor 0,5 kleiner als 1 ist.
Erklärung: Die Monotonie hängt allein an der Basis a, nicht am Faktor b. Hier ist a = 2 > 1, also steigt der Graph — der Faktor 0,5 staucht ihn nur, er dreht die Richtung nicht um.
Welche Beschreibung passt zum Graphen von f(x) = 2 · 3ˣ?
Erklärung: a = 3 > 1, also steigend; f(0) = 2. Die Gerade käme heraus, wenn man 3ˣ als 3·x liest; die Parabel, wenn man den Exponenten als Quadrat missdeutet.
Welcher Graph verläuft durch den Punkt (0 | 3) und steigt?
Erklärung: (0 | 3) verlangt b = 3, Steigen verlangt a > 1 — nur 3 · 2ˣ erfüllt beides. 2 · 3ˣ schneidet bei (0 | 2); 3 · 0,5ˣ fällt.
Ein Graph steigt, schneidet die y-Achse bei 2 und verdoppelt seinen Wert bei jedem Schritt um 1 nach rechts. Welcher Term passt?
Erklärung: b = 2 setzt den y-Achsenabschnitt, a = 2 das Verdoppeln pro Schritt. 2 · 2x wäre eine Gerade; 2 + 2ˣ verschiebt die Asymptote auf y = 2.
Berechne f(0) für f(x) = 3 · 2ˣ.
Erklärung: f(0) = 3 · 2⁰ = 3 · 1 = 3 — der y-Achsenabschnitt.
Berechne f(3) für f(x) = 5 · 2ˣ.
Erklärung: f(3) = 5 · 2³ = 5 · 8 = 40.
Bei f(x) = 4 · 3ˣ wächst der Graph für größer werdendes x immer steiler.
Erklärung: Weil pro Schritt mit demselben Faktor a = 3 > 1 multipliziert wird, werden die absoluten Zuwächse selbst immer größer — der Graph wird immer steiler.
Wie verhält sich f(x) = 6 · 0,5ˣ für sehr große x?
Erklärung: 0,5ˣ → 0 für x → ∞, also f(x) → 0, aber stets positiv. Der Wert 6 ist nur der y-Achsenabschnitt, keine Asymptote; negativ wird b · aˣ mit b > 0 nie.
Der Graph von f(x) = 7 · 3ˣ schneidet die y-Achse bei y = ___.
Erklärung: f(0) = 7 · 3⁰ = 7. Der y-Achsenabschnitt ist der Vorfaktor b = 7.