Die Exponentialfunktion — Graph und Parameter

The exponential function — graph and parameters

Mathematik Klasse 10 15 Aufgaben
ExponentiellFunktionenAsymptotenMonotonieKerncurriculum

Bei der Exponentialfunktion f(x) = b·aˣ legen die beiden Parameter unterschiedliche Dinge am Graphen fest: b ist der y-Achsenabschnitt f(0) = b (nicht a), und die Basis a bestimmt allein die Monotonie — steigend für a > 1, fallend für 0 < a < 1, unabhängig von b. Die x-Achse y = 0 ist eine waagrechte Asymptote, die der Graph nie schneidet. Damit fallen drei hartnäckige Fehler weg: den y-Achsenabschnitt aus a statt b zu lesen, b·aˣ als Gerade zu deuten (2ˣ als 2·x), und die Monotonie am Faktor b statt an der Basis festzumachen.

Voraussetzungen (1)

Exponentielles Wachstum und Abnahme
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 12s ▶ Testen

Welchen y-Achsenabschnitt hat der Graph von f(x) = 5 · 2ˣ?

  • ● 5
  • ○ 2
  • ○ 10
f(0) = 5 · 2⁰ = 5 · 1 = 5. Der y-Achsenabschnitt ist der Faktor b, nicht die Basis a — deshalb 5 und nicht 2.
Multiple Choice #2 12s ▶ Testen

Welchen y-Achsenabschnitt hat der Graph von f(x) = 0,5 · 3ˣ?

  • ● 0,5
  • ○ 3
  • ○ 1,5
f(0) = 0,5 · 3⁰ = 0,5. Der y-Achsenabschnitt ist b = 0,5. Wer 3 wählt, liest die Basis a ab; 1,5 wäre b · a.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welche Funktion ist streng monoton steigend?

  • ● f(x) = 5 · 1,2ˣ
  • ○ f(x) = 5 · 0,8ˣ
  • ○ f(x) = 5 · 0,5ˣ
Steigend ist f(x) = b · aˣ genau dann, wenn a > 1. Nur 1,2 ist größer als 1; 0,8 und 0,5 liegen zwischen 0 und 1 und fallen.
Zahleneingabe #4 10s ▶ Testen

Berechne f(0) für f(x) = 3 · 2ˣ.

✓ Antwort: 3
f(0) = 3 · 2⁰ = 3 · 1 = 3 — der y-Achsenabschnitt.
Lückentext #5 12s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 7 · 3ˣ schneidet die y-Achse bei y = ___.

✓ Antwort: 7
f(0) = 7 · 3⁰ = 7. Der y-Achsenabschnitt ist der Vorfaktor b = 7.
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche waagrechte Asymptote hat der Graph von f(x) = 4 · 2ˣ?

  • ● y = 0
  • ○ y = 4
  • ○ y = 2
Für x → −∞ geht 2ˣ → 0, also f(x) → 0. Die Asymptote ist die x-Achse y = 0 — der Faktor b = 4 verschiebt sie nicht.
Wahr / Falsch #2 12s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 3 · 2ˣ schneidet die x-Achse.

✓ Falsch
3 · 2ˣ ist für jedes x größer als 0 — der Graph nähert sich der x-Achse (Asymptote y = 0), erreicht sie aber nie.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welche Funktion ist streng monoton fallend?

  • ● f(x) = 6 · 0,7ˣ
  • ○ f(x) = 6 · 2ˣ
  • ○ f(x) = 3 · 1,5ˣ
Fallend ist eine Exponentialfunktion genau dann, wenn die Basis 0 < a < 1 ist. Nur 0,7 erfüllt das; 2 und 1,5 sind größer als 1 und steigen.
Wahr / Falsch #4 18s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 0,5 · 2ˣ fällt, weil der Faktor 0,5 kleiner als 1 ist.

✓ Falsch
Die Monotonie hängt allein an der Basis a, nicht am Faktor b. Hier ist a = 2 > 1, also steigt der Graph — der Faktor 0,5 staucht ihn nur, er dreht die Richtung nicht um.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Beschreibung passt zum Graphen von f(x) = 2 · 3ˣ?

  • ● Steigt von links unten nach rechts oben, y-Achsenabschnitt 2
  • ○ Gerade durch den Ursprung mit Steigung 6
  • ○ Parabel mit Scheitelpunkt (0 | 2)
a = 3 > 1, also steigend; f(0) = 2. Die Gerade käme heraus, wenn man 3ˣ als 3·x liest; die Parabel, wenn man den Exponenten als Quadrat missdeutet.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Graph verläuft durch den Punkt (0 | 3) und steigt?

  • ● f(x) = 3 · 2ˣ
  • ○ f(x) = 2 · 3ˣ
  • ○ f(x) = 3 · 0,5ˣ
(0 | 3) verlangt b = 3, Steigen verlangt a > 1 — nur 3 · 2ˣ erfüllt beides. 2 · 3ˣ schneidet bei (0 | 2); 3 · 0,5ˣ fällt.
Zahleneingabe #7 15s ▶ Testen

Berechne f(3) für f(x) = 5 · 2ˣ.

✓ Antwort: 40
f(3) = 5 · 2³ = 5 · 8 = 40.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Bei f(x) = 4 · 3ˣ wächst der Graph für größer werdendes x immer steiler.

✓ Wahr
Weil pro Schritt mit demselben Faktor a = 3 > 1 multipliziert wird, werden die absoluten Zuwächse selbst immer größer — der Graph wird immer steiler.
Multiple Choice #9 18s ▶ Testen

Wie verhält sich f(x) = 6 · 0,5ˣ für sehr große x?

  • ● Nähert sich der Geraden y = 0 von oben
  • ○ Nähert sich der Geraden y = 6
  • ○ Wird immer negativer
0,5ˣ → 0 für x → ∞, also f(x) → 0, aber stets positiv. Der Wert 6 ist nur der y-Achsenabschnitt, keine Asymptote; negativ wird b · aˣ mit b > 0 nie.
Schwer
Multiple Choice #1 22s ▶ Testen

Ein Graph steigt, schneidet die y-Achse bei 2 und verdoppelt seinen Wert bei jedem Schritt um 1 nach rechts. Welcher Term passt?

  • ● f(x) = 2 · 2ˣ
  • ○ f(x) = 2 · 2x
  • ○ f(x) = 2 + 2ˣ
b = 2 setzt den y-Achsenabschnitt, a = 2 das Verdoppeln pro Schritt. 2 · 2x wäre eine Gerade; 2 + 2ˣ verschiebt die Asymptote auf y = 2.