Funktionstransformationen
Der Punkt P(2|5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x) + 3?
Erklärung: g(x) = f(x) + 3 addiert 3 zu jedem Funktionswert. Der x-Wert bleibt, der y-Wert wird 5 + 3 = 8. Nur f(x) + d verschiebt in y-Richtung — der x-Wert wird nicht verändert.
Der Punkt P(0|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x − 2)?
Erklärung: f(x − 2) verschiebt den Graphen um 2 nach rechts — der Wert, den f an der Stelle 0 hatte, wird jetzt an der Stelle 2 angenommen. Das Minus im Argument bedeutet nach rechts, nicht nach links.
Der Punkt P(0|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x + 2)?
Erklärung: f(x + 2) verschiebt um 2 nach links — das Plus im Argument wirkt entgegengesetzt zur x-Achse. Wer „f(x + 2) verschiebt nach rechts" denkt, dreht die Richtung falsch herum.
f(x) = x². Welche Gleichung gehört zu g(x) = f(x + 2)?
Erklärung: g(x) = f(x + 2) setzt (x + 2) in f ein — y = (x + 2)². f(x) + 2 wäre dagegen x² + 2; da steht die 2 außerhalb und verschiebt in y-Richtung.
f(x) = x². Welche Gleichung gehört zu g(x) = 3·f(x)?
Erklärung: 3·f(x) multipliziert die Funktionswerte mit 3 — y = 3x². (3x)² dagegen streckt in x-Richtung, und x² + 3 verschiebt nach oben.
Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = 2·f(x)?
Erklärung: 2·f(x) verdoppelt jeden Funktionswert — aus (2|4) wird (2|8). Der x-Wert bleibt; die Streckung wirkt in y-Richtung, nicht in x-Richtung.
Der Punkt (3|5) liegt auf dem Graphen von f. Dann liegt (3|−5) auf dem Graphen von g(x) = −f(x).
Erklärung: −f(x) spiegelt an der x-Achse — jeder y-Wert wechselt das Vorzeichen, der x-Wert bleibt. Aus (3|5) wird (3|−5).
Der Punkt P(3|5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(−x)?
Erklärung: f(−x) spiegelt an der y-Achse — der x-Wert wechselt das Vorzeichen, der y-Wert bleibt. −f(x) würde dagegen den y-Wert spiegeln, nicht den x-Wert.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(3|−2). Welche Gleichung passt?
Erklärung: Scheitel bei x = 3 heißt (x − 3)² (Verschiebung nach rechts), Scheitel bei y = −2 heißt −2 am Ende. Das Vorzeichen im Klammerterm ist entgegengesetzt zur Verschiebungsrichtung.
Die Parabel y = (x + 4)² − 1 hat welchen Scheitelpunkt?
Erklärung: (x + 4)² bedeutet Verschiebung um 4 nach links, also x_S = −4; die −1 senkt um 1, y_S = −1. Das Plus in der Klammer verschiebt nach links, nicht nach rechts.
y = sin x hat die Periode 2Ï€. Welche Periode hat y = sin(2x)?
Erklärung: sin(b·x) hat die Periode 2π/b. Für b = 2 ist das 2π/2 = π. Der Faktor im Argument staucht in x-Richtung und verkürzt so die Periode — er verlängert sie nicht.
Der Hochpunkt von y = sin x liegt bei (π/2 | 1). Welcher Punkt ist der Hochpunkt von y = 3·sin x?
Erklärung: 3·sin x streckt in y-Richtung — die Amplitude wird 3, der Hochpunkt liegt bei (π/2 | 3). Die Periode (x-Richtung) bleibt 2π; der Faktor vor sin verändert die Periode nicht.
Die Funktion f(x) = 2·sin(x − π/3) + 1 hat den größten Funktionswert ___.
Erklärung: Der größte Wert von sin ist 1 — also 2·1 + 1 = 3. Amplitude 2 und Verschiebung um 1 nach oben heben den Höchstwert auf 3.
Die Funktion f(x) = 2·sin(x − π/3) + 1 hat den kleinsten Funktionswert ___.
Erklärung: Der kleinste Wert von sin ist −1 — also 2·(−1) + 1 = −1.
Ein Zeit-Höhe-Diagramm zeigt die Höhe eines Wanderers über der Zeit. Der Graph steigt zuerst flach, dann steil an. Was bedeutet der steile Abschnitt?
Erklärung: Im Zeit-Höhe-Diagramm zeigt die Steigung, wie schnell sich die Höhe ändert — ein steiler Abschnitt heißt schneller Höhengewinn. Der Graph bildet nicht die Form des Berges ab (Graph-als-Bild), und steil bedeutet nicht hoch.
Auf einem Graphen sind die Punkte A(1|2), B(2|3) und C(3|6) markiert. Zwischen welchen Punkten ist der Graph am steilsten?
Erklärung: Steilheit ist die Änderung des y-Werts pro x-Schritt. Von B nach C steigt y um 3, von A nach B nur um 1 — also ist es zwischen B und C am steilsten. Der höchste Punkt (C) ist nicht dasselbe wie der steilste Anstieg.
Bei g(x) = f(x + 5) wird der Graph von f um 5 nach ___ verschoben.
Erklärung: f(x + 5) verschiebt nach links — das Plus im Argument wirkt entgegengesetzt zur x-Achse.
f(x) = x². Welche Gleichung gehört zum Graphen, der um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben ist?
Erklärung: 3 nach rechts bedeutet x → x − 3, also (x − 3)²; 1 nach unten bedeutet −1 am Ende. Ergibt y = (x − 3)² − 1 — die horizontale Verschiebung steht in der Klammer, die vertikale außerhalb.