Funktionstransformationen

Function Transformations

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
FunktionenAbbildungenGraphisch darstellenKerncurriculum

Verschiebung, Streckung und Spiegelung eines Graphen sind die Wirkung einer Änderung am Funktionsterm auf jeden einzelnen Punkt: f(x − c) verschiebt um c nach rechts, a·f(x) streckt in y-Richtung, f(x) + d hebt um d. Das Vorzeichen im Argument täuscht dabei: f(x + 2) verschiebt nach links, nicht nach rechts, weil jeder Punkt seinen Funktionswert schon zwei Einheiten früher erreicht. Wer die Änderung punktweise über die Kovariation liest (Vollrath 1989), verwechselt den Graphen nicht mit einem Bild der Situation (Clement 1989) und die Steigung nicht mit der Höhe. Diese Termlese-Kompetenz trägt a·sin(b(x + c)) + d und später die Kurvendiskussion.

Voraussetzungen (2)

Quadratische Funktionen
Klasse 9
›
Sinus- und Kosinusfunktion
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Spezielle Funktionseigenschaften
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 12s ▶ Testen

Der Punkt P(2|5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x) + 3?

  • ● (2|8)
  • ○ (5|5)
  • ○ (2|2)
g(x) = f(x) + 3 addiert 3 zu jedem Funktionswert. Der x-Wert bleibt, der y-Wert wird 5 + 3 = 8. Nur f(x) + d verschiebt in y-Richtung — der x-Wert wird nicht verändert.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

f(x) = x². Welche Gleichung gehört zu g(x) = 3·f(x)?

  • ● y = 3x²
  • ○ y = (3x)²
  • ○ y = x² + 3
3·f(x) multipliziert die Funktionswerte mit 3 — y = 3x². (3x)² dagegen streckt in x-Richtung, und x² + 3 verschiebt nach oben.
Wahr / Falsch #3 12s ▶ Testen

Der Punkt (3|5) liegt auf dem Graphen von f. Dann liegt (3|−5) auf dem Graphen von g(x) = −f(x).

✓ Wahr
−f(x) spiegelt an der x-Achse — jeder y-Wert wechselt das Vorzeichen, der x-Wert bleibt. Aus (3|5) wird (3|−5).
Lückentext #4 10s ▶ Testen

Bei g(x) = f(x + 5) wird der Graph von f um 5 nach ___ verschoben.

✓ Antwort: links
f(x + 5) verschiebt nach links — das Plus im Argument wirkt entgegengesetzt zur x-Achse.
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Der Punkt P(0|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x − 2)?

  • ● (2|4)
  • ○ (−2|4)
  • ○ (0|2)
f(x − 2) verschiebt den Graphen um 2 nach rechts — der Wert, den f an der Stelle 0 hatte, wird jetzt an der Stelle 2 angenommen. Das Minus im Argument bedeutet nach rechts, nicht nach links.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Der Punkt P(0|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(x + 2)?

  • ● (−2|4)
  • ○ (2|4)
  • ○ (0|6)
f(x + 2) verschiebt um 2 nach links — das Plus im Argument wirkt entgegengesetzt zur x-Achse. Wer „f(x + 2) verschiebt nach rechts" denkt, dreht die Richtung falsch herum.
Multiple Choice #3 18s ▶ Testen

f(x) = x². Welche Gleichung gehört zu g(x) = f(x + 2)?

  • ● y = (x + 2)²
  • ○ y = x² + 2
  • ○ y = (x − 2)²
g(x) = f(x + 2) setzt (x + 2) in f ein — y = (x + 2)². f(x) + 2 wäre dagegen x² + 2; da steht die 2 außerhalb und verschiebt in y-Richtung.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = 2·f(x)?

  • ● (2|8)
  • ○ (4|4)
  • ○ (2|6)
2·f(x) verdoppelt jeden Funktionswert — aus (2|4) wird (2|8). Der x-Wert bleibt; die Streckung wirkt in y-Richtung, nicht in x-Richtung.
Multiple Choice #5 18s ▶ Testen

Der Punkt P(3|5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = f(−x)?

  • ● (−3|5)
  • ○ (3|−5)
  • ○ (−3|−5)
f(−x) spiegelt an der y-Achse — der x-Wert wechselt das Vorzeichen, der y-Wert bleibt. −f(x) würde dagegen den y-Wert spiegeln, nicht den x-Wert.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(3|−2). Welche Gleichung passt?

  • ● y = (x − 3)² − 2
  • ○ y = (x + 3)² − 2
  • ○ y = (x − 3)² + 2
Scheitel bei x = 3 heißt (x − 3)² (Verschiebung nach rechts), Scheitel bei y = −2 heißt −2 am Ende. Das Vorzeichen im Klammerterm ist entgegengesetzt zur Verschiebungsrichtung.
Multiple Choice #7 18s ▶ Testen

Die Parabel y = (x + 4)² − 1 hat welchen Scheitelpunkt?

  • ● (−4|−1)
  • ○ (4|−1)
  • ○ (−4|1)
(x + 4)² bedeutet Verschiebung um 4 nach links, also x_S = −4; die −1 senkt um 1, y_S = −1. Das Plus in der Klammer verschiebt nach links, nicht nach rechts.
Multiple Choice #8 18s ▶ Testen

y = sin x hat die Periode 2π. Welche Periode hat y = sin(2x)?

  • ● π
  • ○ 4π
  • ○ 2π
sin(b·x) hat die Periode 2π/b. Für b = 2 ist das 2π/2 = π. Der Faktor im Argument staucht in x-Richtung und verkürzt so die Periode — er verlängert sie nicht.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Hochpunkt von y = sin x liegt bei (π/2 | 1). Welcher Punkt ist der Hochpunkt von y = 3·sin x?

  • ● (π/2 | 3)
  • ○ (3π/2 | 1)
  • ○ (π/2 | 1)
3·sin x streckt in y-Richtung — die Amplitude wird 3, der Hochpunkt liegt bei (π/2 | 3). Die Periode (x-Richtung) bleibt 2π; der Faktor vor sin verändert die Periode nicht.
Zahleneingabe #10 18s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 2·sin(x − π/3) + 1 hat den größten Funktionswert ___.

✓ Antwort: 3
Der größte Wert von sin ist 1 — also 2·1 + 1 = 3. Amplitude 2 und Verschiebung um 1 nach oben heben den Höchstwert auf 3.
Zahleneingabe #11 18s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 2·sin(x − π/3) + 1 hat den kleinsten Funktionswert ___.

✓ Antwort: -1
Der kleinste Wert von sin ist −1 — also 2·(−1) + 1 = −1.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Zeit-Höhe-Diagramm zeigt die Höhe eines Wanderers über der Zeit. Der Graph steigt zuerst flach, dann steil an. Was bedeutet der steile Abschnitt?

  • ● Der Wanderer gewinnt in dieser Zeit schnell an Höhe.
  • ○ Der Wanderer geht dort einen steilen Berghang hinauf.
  • ○ Der Wanderer ist dort besonders hoch oben.
Im Zeit-Höhe-Diagramm zeigt die Steigung, wie schnell sich die Höhe ändert — ein steiler Abschnitt heißt schneller Höhengewinn. Der Graph bildet nicht die Form des Berges ab (Graph-als-Bild), und steil bedeutet nicht hoch.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Auf einem Graphen sind die Punkte A(1|2), B(2|3) und C(3|6) markiert. Zwischen welchen Punkten ist der Graph am steilsten?

  • ● Zwischen B und C
  • ○ Zwischen A und B
  • ○ Bei C, weil dort der höchste Punkt liegt
Steilheit ist die Änderung des y-Werts pro x-Schritt. Von B nach C steigt y um 3, von A nach B nur um 1 — also ist es zwischen B und C am steilsten. Der höchste Punkt (C) ist nicht dasselbe wie der steilste Anstieg.
Multiple Choice #3 22s ▶ Testen

f(x) = x². Welche Gleichung gehört zum Graphen, der um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben ist?

  • ● y = (x − 3)² − 1
  • ○ y = (x + 3)² − 1
  • ○ y = (x − 1)² − 3
3 nach rechts bedeutet x → x − 3, also (x − 3)²; 1 nach unten bedeutet −1 am Ende. Ergibt y = (x − 3)² − 1 — die horizontale Verschiebung steht in der Klammer, die vertikale außerhalb.