Ganzrationale Funktionen
Welchen Grad hat f(x) = 5x³ − 2x⁴ + 7?
Erklärung: Der Grad ist der höchste Exponent, unabhängig von der Reihenfolge der Summanden — hier x⁴, also Grad 4. Nicht der zuerst geschriebene Term (x³) und nicht der größte Koeffizient (5) bestimmen den Grad.
f(x) = x² − 4x + 1 ist eine ganzrationale Funktion.
Erklärung: Ja. Eine Summe von Potenzen von x mit reellen Koeffizienten ist ganzrational; f(x) = x² − 4x + 1 ist eine solche vom Grad 2.
Wie verhält sich f(x) = −2x³ + x für x → +∞?
Erklärung: Für x → +∞ entscheidet allein der führende Term −2x³. x³ → +∞, mit dem Faktor −2 also → −∞. Weder das Vorzeichen des Leitkoeffizienten noch ein niedrigerer Term darf ignoriert werden.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens ___ Nullstellen.
Erklärung: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. „Höchstens" — die tatsächliche Anzahl kann wegen Vielfachheiten oder fehlender reeller Lösungen kleiner sein.
f(x) = x⁴ − 5x² + 4. Setze z = x². Welche Gleichung ergibt sich?
Erklärung: Mit z = x² wird x⁴ = (x²)² = z² und x² = z. Also z² − 5z + 4 = 0. x⁴ wird zu z², nicht zu z⁴.
Löse die biquadratische Gleichung x⁴ − 5x² + 4 = 0. Wie viele reelle Lösungen gibt es?
Erklärung: Substitution z = x²: z² − 5z + 4 = 0 → z₁ = 1, z₂ = 4. Rücksubstitution: x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2. Also 4 Lösungen.
Welche Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse?
Erklärung: Achsensymmetrie zur y-Achse gilt genau bei nur geraden Exponenten (f(−x) = f(x)). x⁴ − 3x² erfüllt das; x³ − 3x ist punktsymmetrisch, und schon ein einzelnes x (ungerader Exponent) zerstört die Achsensymmetrie.
Die Funktion f(x) = x³ − 4x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Erklärung: f(−x) = (−x)³ − 4(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −f(x). Nur ungerade Exponenten ⇒ ungerade Funktion ⇒ punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wie verhält sich f(x) = x⁴ − 2x² für x → −∞?
Erklärung: Der führende Term x⁴ hat geraden Exponenten — für x → −∞ ist ein negatives x in einer geraden Potenz positiv, also x⁴ → +∞. Das Vorzeichen von x spielt bei gerader Potenz keine Rolle.
Bestimme die Nullstellen von f(x) = x³ − 4x. Wie viele reelle Nullstellen gibt es?
Erklärung: f(x) = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Die Nullstellen sind x = 0, x = 2, x = −2 — also 3.
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x₀ = 2 bei f(x) = (x − 2)³·(x + 1)?
Erklärung: Die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Exponent ihres Linearfaktors — (x − 2)³ liefert Vielfachheit 3. Nicht die Zahl aller Faktoren (das gäbe 4) und nicht einfach 1.
f(x) = (x − 2)²·(x + 1). Berührt der Graph die x-Achse bei x = 2, ohne sie zu durchschneiden?
Erklärung: Bei x = 2 steht der Faktor (x − 2)² — Vielfachheit 2, also gerade. Bei gerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen der Funktion nicht, der Graph berührt die x-Achse nur (Berührpunkt) und läuft auf derselben Seite weiter.
Bei einer Nullstelle mit ___ Vielfachheit durchschneidet der Graph die x-Achse.
Erklärung: Bei ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen der Funktion — der Graph schneidet die x-Achse und wechselt die Seite.
Welche Funktion hat nur ungerade Exponenten?
Erklärung: Nur ungerade Exponenten heißt jeder Summand hat ungeraden Exponenten — x³ + x hat die Exponenten 3 und 1. Ein konstantes Glied ist x⁰ (gerader Exponent) und zerstört die reine Ungeradheit.
Welche Funktion strebt für x → +∞ und für x → −∞ jeweils gegen +∞?
Erklärung: Auf beiden Seiten → +∞ gilt genau bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten. x⁴ − 3x² erfüllt beides; ungerader Grad (x³) gibt entgegengesetzte Enden, und ein negativer Leitkoeffizient (−x⁴) schickt beide Enden nach −∞.
Die Funktion f(x) = x⁵ hat genau eine Nullstelle.
Erklärung: x⁵ = 0 gilt genau für x = 0 — eine einzige Nullstelle (mit Vielfachheit 5). Der hohe Grad bedeutet nicht viele verschiedene Nullstellen.
Welche Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung?
Erklärung: Punktsymmetrie zum Ursprung gilt genau bei nur ungeraden Exponenten (f(−x) = −f(x)). x⁵ − 2x³ erfüllt das; x⁴ − 2x² ist achsensymmetrisch, und das konstante +2 (x⁰) zerstört die Symmetrie.
Welche Nullstellen hat f(x) = (x − 1)(x − 3)?
Erklärung: Nullstellen sind die x-Werte mit f(x) = 0, also die Nullstellen der Faktoren — (x − 1) wird 0 bei x = 1, (x − 3) bei x = 3. Nicht −1 und −3 (das Vorzeichen kehrt sich um) und nicht der y-Achsenschnitt f(0) = 3.