Ganzrationale Funktionen
Polynomial Functions
Grad, Randverhalten, Nullstellen mit Vielfachheit und Symmetrie einer ganzrationalen Funktion ergeben sich aus ihrer algebraischen Struktur, nicht aus dem Bild. Der führende Term steuert allein das Verhalten für x → ±∞. Die Symmetrie liest man an den Exponenten ab: nur gerade Exponenten ⇒ achsensymmetrisch, nur ungerade ⇒ punktsymmetrisch. Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen, gezählt mit Vielfachheit. Die biquadratische Gleichung wird über die Substitution z = x² auf eine quadratische zurückgeführt.
Voraussetzungen (3)
Ermöglicht (3)
Welchen Grad hat f(x) = 5x³ − 2x⁴ + 7?
f(x) = x² − 4x + 1 ist eine ganzrationale Funktion.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens ___ Nullstellen.
f(x) = x⁴ − 5x² + 4. Setze z = x². Welche Gleichung ergibt sich?
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x₀ = 2 bei f(x) = (x − 2)³·(x + 1)?
Bei einer Nullstelle mit ___ Vielfachheit durchschneidet der Graph die x-Achse.
Die Funktion f(x) = x⁵ hat genau eine Nullstelle.
Wie verhält sich f(x) = −2x³ + x für x → +∞?
Löse die biquadratische Gleichung x⁴ − 5x² + 4 = 0. Wie viele reelle Lösungen gibt es?
Welche Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse?
Die Funktion f(x) = x³ − 4x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wie verhält sich f(x) = x⁴ − 2x² für x → −∞?
Bestimme die Nullstellen von f(x) = x³ − 4x. Wie viele reelle Nullstellen gibt es?
f(x) = (x − 2)²·(x + 1). Berührt der Graph die x-Achse bei x = 2, ohne sie zu durchschneiden?
Welche Funktion hat nur ungerade Exponenten?
Welche Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung?
Welche Nullstellen hat f(x) = (x − 1)(x − 3)?
Welche Funktion strebt für x → +∞ und für x → −∞ jeweils gegen +∞?