Kugel
Eine Kugel hat den Radius r = 2 cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·r³ — der Radius steht hoch drei. Mit r² rechnet man mit dem Oberflächen-Exponenten, und 4·π·r² ist die Oberflächenformel selbst (Ergebnis in cm², nicht cm³).
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist O = ___·π·r².
Erklärung: Die Kugeloberfläche beträgt O = 4·π·r² — viermal die Fläche eines Großkreises.
Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 3 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·3³ = ⁴⁄₃·π·27 = 36π ≈ 113,1 ≈ 113 cm³.
Berechne die Oberfläche einer Kugel mit r = 5 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm² runden).
Erklärung: O = 4·π·5² = 4·π·25 = 100π ≈ 314,2 ≈ 314 cm².
Welcher Körper entsteht, wenn man einen Halbkreis um seinen Durchmesser dreht?
Erklärung: Die Kugel ist der Rotationskörper eines Halbkreises um seinen Durchmesser. Die Drehung eines Dreiecks ergäbe einen Kegel, die eines Rechtecks einen Zylinder.
Ein Ball hat einen Durchmesser von 20 cm. Welche Rechnung ergibt sein Volumen?
Erklärung: Aus dem Durchmesser d = 20 cm folgt der Radius r = 10 cm. Mit 20³ rechnet man mit dem Durchmesser statt dem Radius; 4·π·10² ist die Oberflächenformel.
Eine Kugel hat das Volumen 288π cm³. Berechne den Radius r (in cm).
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·r³ = 288π → r³ = 288·¾ = 216 → r = ∛216 = 6 cm.
Verdoppelt man den Radius einer Kugel, vervielfacht sich ihr Volumen um den Faktor ___.
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·r³. Bei 2r wird V' = ⁴⁄₃·π·(2r)³ = ⁴⁄₃·π·8r³ = 8V — das Volumen verachtfacht sich, es verdoppelt sich nicht.
Ein Großkreis einer Kugel hat die Fläche 20 cm². Wie groß ist die Kugeloberfläche?
Erklärung: Die Kugeloberfläche ist O = 4·π·r² — viermal die Fläche eines Großkreises (π·r²). Also 4 · 20 = 80 cm². 40 cm² wäre nur der Faktor 2, 20 cm² setzte Oberfläche = Großkreisfläche gleich.
Eine Kugel hat eine Oberfläche von 196π cm². Berechne den Radius r (in cm).
Erklärung: O = 4·π·r² = 196π → r² = 49 → r = 7 cm.
Eine Kugel und ein Zylinder haben denselben Radius r; der Zylinder hat die Höhe 2r. Welches Verhältnis hat das Kugelvolumen zum Zylindervolumen?
Erklärung: V_Kugel = ⁴⁄₃·π·r³, V_Zylinder = π·r²·2r = 2π·r³. Das Verhältnis ist (⁴⁄₃)/2 = 2/3 — Archimedes' Ergebnis.
Wie viele Liter Wasser fasst eine halbkugelförmige Schüssel mit Durchmesser 30 cm? (1 Liter = 1000 cm³, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden)
Erklärung: r = 15 cm. V_Halbkugel = ½ · ⁴⁄₃·π·15³ = ⅔·π·3375 = 2250π ≈ 7069 cm³ ≈ 7,1 Liter.
Verdoppelt man den Radius einer Kugel, vervielfacht sich ihre Oberfläche um den Faktor ___.
Erklärung: O = 4·π·r². Bei 2r wird O' = 4·π·(2r)² = 4·π·4r² = 4O — die Oberfläche vervierfacht sich (·4), das Volumen dagegen verachtfacht sich (·8).
Eine Ebene schneidet eine Kugel. Welche Form hat die Schnittfläche?
Erklärung: Jeder ebene Schnitt durch eine Kugel ergibt einen Kreis. Der größte (durch den Mittelpunkt) heißt Großkreis.
Für eine Kugel mit r = 5 cm wurden Volumen und Oberfläche berechnet. Welche Einheiten passen?
Erklärung: Das Volumen ist ein Rauminhalt (cm³, r³), die Oberfläche ein Flächeninhalt (cm², r²). Die Einheit verrät, welche Größe gemeint ist.
Die Erde hat einen Radius von etwa 6371 km. Berechne ihre Oberfläche in Millionen km² (π ≈ 3,14, auf ganze Millionen runden).
Erklärung: O = 4·π·6371² = 4·π·40.589.641 ≈ 510.064.000 km² ≈ 510 Mio. km².
Drei Körper haben dieselbe Oberfläche von 100 cm²: ein Würfel, ein Zylinder und eine Kugel. Welcher fasst das größte Volumen?
Erklärung: Bei gegebener Oberfläche ist die Kugel der volumenmaximale Körper (isoperimetrische Eigenschaft) — sie schließt mehr Volumen ein als Würfel oder Zylinder gleicher Oberfläche.