Kugel

Sphere

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieKugelVolumenOberflächeKerncurriculum

Volumen V = ⁴⁄₃·π·r³ und Oberfläche O = 4·π·r² der Kugel, angewendet auf Bälle, Halbkugeln, Schüsseln und die Erdkugel. Die Kugel ist der Rotationskörper eines Halbkreises; jeder ebene Schnitt ist ein Kreis, der größte davon der Großkreis (Oberfläche = 4 Großkreise). Die Aufgaben halten r³ (Volumen) und r² (Oberfläche) auseinander — die häufigste Verwechslung — und arbeiten den Linearitätsfehler heraus: doppelter Radius bedeutet ·8 beim Volumen, aber ·4 bei der Oberfläche, nie ·2. Auch die Verwechslung von Durchmesser und Radius und die Einheiten cm² gegen cm³ werden gezielt geprüft. Baut auf Pyramide/Kegel auf und speist die vermischten Körper- und Anwendungsaufgaben.

Voraussetzungen (2)

Pyramide und Kegel
Klasse 10
›
Kreisumfang und Kreisfläche
Klasse 8
›

Ermöglicht (2)

Pyramiden, Kegel und Kugel — vermischte Körperberechnungen
Klasse 10
›
Raumgeometrie – Anwendungen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Eine Kugel hat den Radius r = 2 cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?

  • ● ⁴⁄₃ · π · 2³
  • ○ ⁴⁄₃ · π · 2²
  • ○ 4 · π · 2²
V = ⁴⁄₃·π·r³ — der Radius steht hoch drei. Mit r² rechnet man mit dem Oberflächen-Exponenten, und 4·π·r² ist die Oberflächenformel selbst (Ergebnis in cm², nicht cm³).
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist O = ___·π·r².

✓ Antwort: 4
Die Kugeloberfläche beträgt O = 4·π·r² — viermal die Fläche eines Großkreises.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 3 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).

✓ Antwort: 113
V = ⁴⁄₃·π·3³ = ⁴⁄₃·π·27 = 36π ≈ 113,1 ≈ 113 cm³.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Berechne die Oberfläche einer Kugel mit r = 5 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm² runden).

✓ Antwort: 314
O = 4·π·5² = 4·π·25 = 100π ≈ 314,2 ≈ 314 cm².
Multiple Choice #5 12s ▶ Testen

Welcher Körper entsteht, wenn man einen Halbkreis um seinen Durchmesser dreht?

  • ● Kugel
  • ○ Kegel
  • ○ Zylinder
Die Kugel ist der Rotationskörper eines Halbkreises um seinen Durchmesser. Die Drehung eines Dreiecks ergäbe einen Kegel, die eines Rechtecks einen Zylinder.
Multiple Choice #6 12s ▶ Testen

Eine Ebene schneidet eine Kugel. Welche Form hat die Schnittfläche?

  • ● Ein Kreis
  • ○ Eine Ellipse
  • ○ Ein Oval
Jeder ebene Schnitt durch eine Kugel ergibt einen Kreis. Der größte (durch den Mittelpunkt) heißt Großkreis.
Multiple Choice #7 15s ▶ Testen

Für eine Kugel mit r = 5 cm wurden Volumen und Oberfläche berechnet. Welche Einheiten passen?

  • ● Volumen in cm³, Oberfläche in cm²
  • ○ Volumen in cm², Oberfläche in cm³
  • ○ Volumen und Oberfläche beide in cm³
Das Volumen ist ein Rauminhalt (cm³, r³), die Oberfläche ein Flächeninhalt (cm², r²). Die Einheit verrät, welche Größe gemeint ist.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Ball hat einen Durchmesser von 20 cm. Welche Rechnung ergibt sein Volumen?

  • ● ⁴⁄₃ · π · 10³
  • ○ ⁴⁄₃ · π · 20³
  • ○ 4 · π · 10²
Aus dem Durchmesser d = 20 cm folgt der Radius r = 10 cm. Mit 20³ rechnet man mit dem Durchmesser statt dem Radius; 4·π·10² ist die Oberflächenformel.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Kugel hat das Volumen 288π cm³. Berechne den Radius r (in cm).

✓ Antwort: 6
V = ⁴⁄₃·π·r³ = 288π → r³ = 288·¾ = 216 → r = ∛216 = 6 cm.
Lückentext #3 18s ▶ Testen

Verdoppelt man den Radius einer Kugel, vervielfacht sich ihr Volumen um den Faktor ___.

✓ Antwort: 8
V = ⁴⁄₃·π·r³. Bei 2r wird V' = ⁴⁄₃·π·(2r)³ = ⁴⁄₃·π·8r³ = 8V — das Volumen verachtfacht sich, es verdoppelt sich nicht.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Ein Großkreis einer Kugel hat die Fläche 20 cm². Wie groß ist die Kugeloberfläche?

  • ● 80 cm²
  • ○ 40 cm²
  • ○ 20 cm²
Die Kugeloberfläche ist O = 4·π·r² — viermal die Fläche eines Großkreises (π·r²). Also 4 · 20 = 80 cm². 40 cm² wäre nur der Faktor 2, 20 cm² setzte Oberfläche = Großkreisfläche gleich.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Eine Kugel hat eine Oberfläche von 196π cm². Berechne den Radius r (in cm).

✓ Antwort: 7
O = 4·π·r² = 196π → r² = 49 → r = 7 cm.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Verdoppelt man den Radius einer Kugel, vervielfacht sich ihre Oberfläche um den Faktor ___.

✓ Antwort: 4
O = 4·π·r². Bei 2r wird O' = 4·π·(2r)² = 4·π·4r² = 4O — die Oberfläche vervierfacht sich (·4), das Volumen dagegen verachtfacht sich (·8).
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Eine Kugel und ein Zylinder haben denselben Radius r; der Zylinder hat die Höhe 2r. Welches Verhältnis hat das Kugelvolumen zum Zylindervolumen?

  • ● 2/3
  • ○ 1/2
  • ○ 3/4
V_Kugel = ⁴⁄₃·π·r³, V_Zylinder = π·r²·2r = 2π·r³. Das Verhältnis ist (⁴⁄₃)/2 = 2/3 — Archimedes' Ergebnis.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Liter Wasser fasst eine halbkugelförmige Schüssel mit Durchmesser 30 cm? (1 Liter = 1000 cm³, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden)

✓ Antwort: 7.1
r = 15 cm. V_Halbkugel = ½ · ⁴⁄₃·π·15³ = ⅔·π·3375 = 2250π ≈ 7069 cm³ ≈ 7,1 Liter.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Erde hat einen Radius von etwa 6371 km. Berechne ihre Oberfläche in Millionen km² (π ≈ 3,14, auf ganze Millionen runden).

✓ Antwort: 510
O = 4·π·6371² = 4·π·40.589.641 ≈ 510.064.000 km² ≈ 510 Mio. km².
Multiple Choice #4 18s ▶ Testen

Drei Körper haben dieselbe Oberfläche von 100 cm²: ein Würfel, ein Zylinder und eine Kugel. Welcher fasst das größte Volumen?

  • ● Kugel
  • ○ Würfel
  • ○ Zylinder
Bei gegebener Oberfläche ist die Kugel der volumenmaximale Körper (isoperimetrische Eigenschaft) — sie schließt mehr Volumen ein als Würfel oder Zylinder gleicher Oberfläche.