Logarithmus

Erklärung: log₂(8) = 3 heißt „2 hoch 3 ergibt 8" — der Logarithmus ist der Exponent. Basis und Exponent dürfen nicht vertauscht werden.

Erklärung: 3⁴ = 81, also log₃(81) = 4.

Erklärung: 5³ = 125, also log₅(125) = 3.

Erklärung: 10³ = 1000, also log₁₀(1000) = 3.

Erklärung: 2⁻⁴ = 1/16, also log₂(1/16) = −4.

Erklärung: 2⁵ = 32, also x = 5. Gleichbedeutend mit x = log₂(32).

Erklärung: Der Logarithmus ist nicht linear — log(a + b) ist nicht log a + log b. Ein Summengesetz gibt es nur für Produkte: log(a · b) = log a + log b. Hier ist log₁₀(5) ≈ 0,70, aber log₁₀2 + log₁₀3 ≈ 0,78.

Erklärung: log₂(8 · 4) = log₂(32) = 5, denn log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5. Der Wert 6 entsteht, wenn man fälschlich log₂8 · log₂4 rechnet; 32 vergisst den Logarithmus ganz.

Erklärung: 2³ = 8 und 2⁴ = 16, also liegt x zwischen 3 und 4 (x = log₂10 ≈ 3,32). x = 5 entsteht, wenn man 2ˣ als 2·x liest und durch 2 teilt. „Zwischen 4 und 5" schätzt zu hoch — es unterstellt, 10 liege oberhalb von 2⁴ = 16, obwohl 10 zwischen 2³ = 8 und 2⁴ = 16 liegt.

Erklärung: 7⁰ = 1, also log₇(1) = 0. Für jede Basis b gilt log_b(1) = 0.

Erklärung: log₄(x) = 3 heißt 4³ = x, also x = 64. Wer 3⁴ wählt, vertauscht Basis und Exponent; 3 · 4 verwechselt Potenzieren mit Multiplizieren.

Erklärung: 5⁴ = 625, also x = 4.

Erklärung: 10⁻² = 0,01, also log₁₀(0,01) = −2.

Erklärung: Verachtfachen heißt Faktor 8 = 2³ — also 3 Verdopplungen zu je 4 Stunden: 3 · 4 = 12. 32 Stunden multipliziert 8 · 4; 8 Stunden reicht nur für 2 Verdopplungen (Faktor 4).

Erklärung: log₂(2⁷) = 7 · log₂(2) = 7 · 1 = 7 — der Logarithmus liest den Exponenten ab.

Erklärung: Beim Produkt werden die Logarithmen addiert, nicht multipliziert: log₂(4 · 8) = log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5. Die rechte Seite ergäbe 2 · 3 = 6.