Logarithmus

Logarithm

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
LogarithmusExponentiellGleichungenKerncurriculum

Der Logarithmus ist die Umkehrfrage zur Potenz: log_b(y) beantwortet „b hoch was ergibt y?" — in einfachen FĂ€llen im Kopf, etwa log₂ 8 = 3, weil 2Âł = 8. Ohne diese Prozessdeutung bleibt log ein bedeutungsloses Symbol (Weber 2002). Mit ihm lassen sich Exponentialgleichungen wie 1,05ËŁ = 2 lösen — die Frage nach der Verdopplungszeit. Das Gesetz log_b(uᶻ) = z·log_b(u) holt den Exponenten nach unten und macht solche Gleichungen dem Taschenrechner zugĂ€nglich.

Voraussetzungen (1)

Exponentielles Wachstum und Abnahme
Klasse 10
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Ermöglicht (1)

Die Logarithmusfunktion
Klasse 13
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

log₂(8) = 3 ist gleichbedeutend mit welcher Gleichung?

  • ● 2Âł = 8
  • ○ 3ÂČ = 8
  • ○ 8Âł = 2
log₂(8) = 3 heißt „2 hoch 3 ergibt 8" — der Logarithmus ist der Exponent. Basis und Exponent dĂŒrfen nicht vertauscht werden.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Berechne log₃(81).

✓ Antwort: 4
3 = 81, also log₃(81) = 4.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Berechne log₅(125).

✓ Antwort: 3
5³ = 125, also log₅(125) = 3.
LĂŒckentext #4 10s ▶ Testen

log₁₀(1000) = ___

✓ Antwort: 3
10³ = 1000, also log₁₀(1000) = 3.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Löse die Gleichung 2ˣ = 32.

✓ Antwort: 5
2⁔ = 32, also x = 5. Gleichbedeutend mit x = log₂(32).
Zahleneingabe #6 12s ▶ Testen

Berechne log₇(1).

✓ Antwort: 0
7⁰ = 1, also log₇(1) = 0. FĂŒr jede Basis b gilt log_b(1) = 0.
Multiple Choice #7 18s ▶ Testen

Welche Gleichung ist Ă€quivalent zu log₄(x) = 3?

  • ● x = 4Âł
  • ○ x = 3⁎
  • ○ x = 3 · 4
log₄(x) = 3 heißt 4Âł = x, also x = 64. Wer 3⁎ wĂ€hlt, vertauscht Basis und Exponent; 3 · 4 verwechselt Potenzieren mit Multiplizieren.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Löse die Gleichung 5ˣ = 625.

✓ Antwort: 4
5⁎ = 625, also x = 4.
LĂŒckentext #9 12s ▶ Testen

log₂(2⁷) = ___

✓ Antwort: 7
log₂(2⁷) = 7 · log₂(2) = 7 · 1 = 7 — der Logarithmus liest den Exponenten ab.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne log₂(1/16).

✓ Antwort: -4
2⁻⁎ = 1/16, also log₂(1/16) = −4.
Wahr / Falsch #2 22s ▶ Testen

Es gilt: log₁₀(2 + 3) = log₁₀(2) + log₁₀(3).

✓ Falsch
Der Logarithmus ist nicht linear — log(a + b) ist nicht log a + log b. Ein Summengesetz gibt es nur fĂŒr Produkte: log(a · b) = log a + log b. Hier ist log₁₀(5) ≈ 0,70, aber log₁₀2 + log₁₀3 ≈ 0,78.
Multiple Choice #3 22s ▶ Testen

Welchen Wert hat log₂(8 · 4)?

  • ● 5
  • ○ 6
  • ○ 32
log₂(8 · 4) = log₂(32) = 5, denn log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5. Der Wert 6 entsteht, wenn man fĂ€lschlich log₂8 · log₂4 rechnet; 32 vergisst den Logarithmus ganz.
Multiple Choice #4 22s ▶ Testen

FĂŒr welche Zahl gilt 2ËŁ = 10?

  • ● x liegt zwischen 3 und 4
  • ○ x = 5
  • ○ x liegt zwischen 4 und 5
2Âł = 8 und 2⁎ = 16, also liegt x zwischen 3 und 4 (x = log₂10 ≈ 3,32). x = 5 entsteht, wenn man 2ËŁ als 2·x liest und durch 2 teilt. „Zwischen 4 und 5" schĂ€tzt zu hoch — es unterstellt, 10 liege oberhalb von 2⁎ = 16, obwohl 10 zwischen 2Âł = 8 und 2⁎ = 16 liegt.
Zahleneingabe #5 18s ▶ Testen

Berechne log₁₀(0,01).

✓ Antwort: -2
10⁻ÂČ = 0,01, also log₁₀(0,01) = −2.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 4 Stunden. Nach wie vielen Stunden hat sie sich verachtfacht?

  • ● 12 Stunden
  • ○ 32 Stunden
  • ○ 8 Stunden
Verachtfachen heißt Faktor 8 = 2Âł — also 3 Verdopplungen zu je 4 Stunden: 3 · 4 = 12. 32 Stunden multipliziert 8 · 4; 8 Stunden reicht nur fĂŒr 2 Verdopplungen (Faktor 4).
Wahr / Falsch #7 22s ▶ Testen

Es gilt: log₂(4 · 8) = log₂(4) · log₂(8).

✓ Falsch
Beim Produkt werden die Logarithmen addiert, nicht multipliziert: log₂(4 · 8) = log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5. Die rechte Seite ergĂ€be 2 · 3 = 6.