Pyramide und Kegel
Eine Pyramide hat die Grundfläche G = 30 cm² und die Höhe h = 9 cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?
Erklärung: V = ⅓ · G · h. Der Faktor ⅓ unterscheidet die Pyramide vom Prisma gleicher Grundfläche und Höhe — ohne ihn (30·9) rechnet man das Prismenvolumen, mit ½ eine falsche Bruchzahl.
Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a = 6 cm und Höhe h = 10 cm (in cm³).
Erklärung: G = a² = 36 cm². V = ⅓ · 36 · 10 = 120 cm³.
Eine quadratische Pyramide hat Grundkante a = 12 cm, Körperhöhe h = 8 cm und Seitenhöhe hₛ = 10 cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?
Erklärung: Im Volumen steht die Körperhöhe h = 8 cm (senkrecht von der Spitze zur Grundfläche), nicht die Seitenhöhe hₛ = 10 cm — die gehört nur zur Mantelfläche. Ohne das ⅓ erhielte man das Prismenvolumen.
Das Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h lautet V = ⅓ · ___ · h.
Erklärung: Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis mit Fläche G = π·r². Also V = ⅓ · π·r² · h.
Ein gerader Kreiskegel hat r = 3 cm und h = 8 cm. Berechne das Volumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Erklärung: V = ⅓ · π · 3² · 8 = ⅓ · π · 72 = 24π ≈ 75,4 ≈ 75 cm³.
Rollt man den Mantel eines geraden Kreiskegels in der Ebene flach ab, welche Figur entsteht?
Erklärung: Der abgewickelte Kegelmantel ist ein Kreissektor mit Radius s (der Mantellinie). Ein Rechteck ergäbe sich beim Zylinder, kein Dreieck.
Ein gerader Kreiskegel hat Radius r = 5 cm und Mantellinie s = 13 cm. Berechne die Mantelfläche M = π·r·s (π ≈ 3,14, auf ganze cm² runden).
Erklärung: M = π · 5 · 13 = 65π ≈ 204,1 ≈ 204 cm².
Bei einem geraden Kreiskegel mit Radius r, Höhe h und Mantellinie s gilt: s² = r² + ___.
Erklärung: Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, also liefert der Satz des Pythagoras s² = r² + h².
Ein Kegel hat r = 4 cm und h = 3 cm. Berechne die Länge der Mantellinie s (in cm).
Erklärung: s = √(r² + h²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm.
Welcher Körper entsteht, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete dreht?
Erklärung: Ein gerader Kreiskegel ist ein Rotationskörper — die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete erzeugt ihn. Ein Rechteck ergäbe einen Zylinder, ein Halbkreis eine Kugel.
Zwei gleich hohe Stapel bestehen aus je 30 gleichen CDs; einer steht gerade, der andere ist schräg zu einer Wendel verschoben. Was gilt für ihre Volumina?
Erklärung: Prinzip von Cavalieri — gleiche Höhe und in jeder Schnitthöhe gleiche Querschnittsfläche (eine CD) ergeben gleiches Volumen. Das Verschieben ändert nichts.
Eine quadratische Pyramide hat Grundkante a = 10 cm und Körperhöhe h = 12 cm. Berechne die Seitenhöhe hₛ (Höhe eines Seitendreiecks, in cm).
Erklärung: hₛ verbindet die Spitze mit der Mitte einer Grundkante; der Abstand dieser Mitte zum Fußpunkt der Höhe ist a/2 = 5 cm. hₛ = √(h² + (a/2)²) = √(144 + 25) = √169 = 13 cm.
Ein schiefer und ein gerader Kegel haben gleiche Grundfläche und gleiche Höhe. Was gilt für ihre Volumina?
Erklärung: Nach dem Prinzip von Cavalieri sind die Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich, also auch die Volumina — beide V = ⅓ · G · h.
Berechne die Oberfläche eines geraden Kreiskegels mit r = 3 cm und s = 5 cm (O = π·r² + π·r·s, π ≈ 3,14, auf ganze cm² runden).
Erklärung: O = π·r² + π·r·s = 9π + 15π = 24π ≈ 75,4 ≈ 75 cm².
Für einen Kegel wurden das Volumen 90 und die Oberfläche 78 berechnet. Welche Einheiten passen dazu?
Erklärung: Ein Volumen ist ein Rauminhalt (cm³, drei Längen), eine Oberfläche ein Flächeninhalt (cm², zwei Längen). Beide tragen nie dieselbe Einheit.
Bei einem Kegel werden Radius und Höhe beide verdoppelt. Wie ändert sich sein Volumen?
Erklärung: V = ⅓πr²h. Mit 2r und 2h wird V' = ⅓π(2r)²(2h) = ⅓π·4r²·2h = 8·V. Drei Längen gehen ein, das Volumen wächst mit 2³ = 8 — nicht linear.
Ein Prisma und eine Pyramide haben beide G = 30 cm² und h = 6 cm. Das Prisma fasst 180 cm³. Wie viel fasst die Pyramide?
Erklärung: V_Pyramide = ⅓ · G · h = ⅓ · V_Prisma = ⅓ · 180 = 60 cm³. Dieser Faktor ⅓ wird über das Prinzip von Cavalieri (und die Zerlegung eines Prismas in drei Pyramiden) begründet. 90 cm³ wäre die Hälfte, 180 cm³ das gleiche Volumen wie das Prisma (⅓ vergessen).
Drei gleiche Pyramiden füllen zusammen lückenlos einen Würfel mit Kantenlänge 6 cm. Berechne das Volumen einer dieser Pyramiden (in cm³).
Erklärung: V_Würfel = 6³ = 216 cm³. V_Pyramide = 216/3 = 72 cm³ — der Würfel zeigt das ⅓ als reale Zerlegung.