Pyramiden, Kegel und Kugel — vermischte Körperberechnungen
Eine Pyramide hat die Grundfläche A_G = 24 cm² und die Höhe h = 5 cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?
Erklärung: V = ⅓ · A_G · h. Ohne das ⅓ (24·5) rechnet man das Prismenvolumen, mit ½ eine falsche Bruchzahl.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 6 cm und die Höhe h = 10 cm. Berechne das Volumen (in cm³).
Erklärung: A_G = 6² = 36 cm². V = ⅓ · 36 · 10 = 120 cm³.
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche (8 cm × 5 cm) und die Höhe 12 cm. Berechne das Volumen (in cm³).
Erklärung: A_G = 8 · 5 = 40 cm². V = ⅓ · 40 · 12 = 160 cm³.
Eine gerade quadratische Pyramide ist 0,85 m hoch und hat das Volumen 4,25 m³. Wie lang ist die Grundkante (in m, auf 1 Dezimale runden)?
Erklärung: V = ⅓ · a² · h → a² = 3V/h = 3·4,25/0,85 = 15. a = √15 ≈ 3,9 m.
Wie viele dreieckige Seitenflächen hat eine gerade quadratische Pyramide?
Erklärung: Eine n-seitige Pyramide hat n Seitendreiecke — bei quadratischer Grundfläche also 4. Die Grundfläche zählt nicht zum Mantel.
Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 8 cm und die Seitenkante (Kante zur Spitze) s = 10 cm. Berechne die Körperhöhe (in cm, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: Die halbe Diagonale ist a√2/2 = 4√2 ≈ 5,66 cm. h² = s² − (a√2/2)² = 100 − 32 = 68. h = √68 ≈ 8,2 cm.
Ein Kegel hat r = 6 cm, Körperhöhe h = 8 cm und Mantellinie s = 10 cm. Welche Rechnung ergibt sein Volumen?
Erklärung: Im Volumen steht die Körperhöhe h = 8 cm, nicht die Mantellinie s = 10 cm. Ohne das ⅓ erhielte man das Zylindervolumen.
Berechne das Volumen eines Kegels mit r = 3 cm und h = 7 cm (π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: V = ⅓ · 3,14 · 9 · 7 = ⅓ · 197,82 ≈ 65,9 cm³.
Ein Kegel hat das Volumen 150 cm³ und den Radius r = 5 cm. Berechne die Höhe h (in cm, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: V = ⅓πr²h → h = 3V/(πr²) = 450/(3,14·25) = 450/78,5 ≈ 5,7 cm.
Ein gerader Kegel hat r = 4 cm und h = 3 cm. Berechne die Mantellinie s (in cm).
Erklärung: s² = r² + h² = 16 + 9 = 25. s = 5 cm.
Berechne die Oberfläche eines geraden Kegels mit r = 4 cm und s = 5 cm (π ≈ 3,14, auf 2 Dezimalen runden).
Erklärung: O = πr² + πrs = π·r·(r+s) = 3,14·4·(4+5) = 3,14·4·9 = 113,04 cm².
Ein schiefes und ein gerades Prisma haben gleiche Grundfläche und gleiche Höhe. Was gilt für ihre Volumina?
Erklärung: Nach dem Prinzip von Cavalieri sind die Schnittflächen in jeder Höhe gleich, also auch die Volumina. Das Verschieben (schief statt gerade) ändert das Volumen nicht.
Eine schiefe und eine gerade Pyramide haben gleiche Grundfläche und gleiche Höhe. Was gilt für ihre Volumina?
Erklärung: Nach dem Prinzip von Cavalieri sind die Querschnitte in jeder Höhe gleich — deshalb gilt V = ⅓·A_G·h für jede Pyramide, nicht nur die gerade.
Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 6 cm (π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: V = ⁴⁄₃ · 3,14 · 216 = ⁴⁄₃ · 678,24 ≈ 904,3 cm³.
Eine Kugel hat das Volumen 36π cm³. Berechne den Radius (in cm).
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·r³ = 36π → r³ = 36·¾ = 27 → r = 3 cm.
Verdoppelt man den Radius einer Kugel, wie ändert sich ihr Volumen?
Erklärung: V = ⁴⁄₃πr³. Mit 2r wird V' = ⁴⁄₃π(2r)³ = 8·V. Das Volumen wächst mit 2³ = 8, nicht linear mit dem Radius.
Eine Halbkugel hat den Radius r = 10 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: V = ½ · ⁴⁄₃·πr³ = ⅔·3,14·1000 = 2093,3 cm³.
Aus einer Kugel mit 5 cm Durchmesser sollen kleine Kugeln mit 5 mm Durchmesser gegossen werden. Wie viele lassen sich (ohne Verlust) gießen?
Erklärung: Das Volumen wächst mit der dritten Potenz. Die Durchmesser stehen im Verhältnis 50 mm zu 5 mm, also 10; damit ergeben sich 10³ = 1000 kleine Kugeln — nicht 10.