Raumgeometrie – Anwendungen
Eine Eistüte besteht aus einem Kegel (r = 3 cm, h = 12 cm) mit aufgesetzter Halbkugel (r = 3 cm). Berechne das Gesamtvolumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Erklärung: V_Kegel = ⅓·π·9·12 = 36π. V_Halbkugel = ⅔·π·27 = 18π. V_ges = 54π ≈ 169,6 ≈ 170 cm³.
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (r = 4 m, h = 10 m) mit aufgesetztem Kegel (r = 4 m, h = 3 m). Berechne das Gesamtvolumen (in m³, π ≈ 3,14, auf ganze m³ runden).
Erklärung: V_Zylinder = π·16·10 = 160π. V_Kegel = ⅓·π·16·3 = 16π. V_ges = 176π ≈ 552,6 ≈ 553 m³.
Ein quadratischer Pyramidenstumpf hat die untere Grundkante a = 6 cm, die obere Grundkante b = 3 cm und die Höhe h = 4 cm. Berechne sein Volumen (auf ganze cm³ runden).
Erklärung: V = ⅓·h·(A₁ + A₂ + √(A₁·A₂)) mit A₁ = 6² = 36, A₂ = 3² = 9. √(36·9) = 18. V = ⅓·4·(36 + 9 + 18) = ⅓·4·63 = 84 cm³.
Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Berechne den halben Öffnungswinkel an der Spitze (in Grad, auf ganze runden). Hinweis: tan(α/2) = r/h.
Erklärung: tan(α/2) = 6/8 = 0,75. α/2 = arctan(0,75) ≈ 36,87° ≈ 37°.
In einen Würfel mit Kantenlänge 10 cm wird die größtmögliche Kugel einbeschrieben. Berechne ihr Volumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Erklärung: Die einbeschriebene Kugel berührt die Seitenflächen, also r = 10/2 = 5 cm. V = ⁴⁄₃·π·125 ≈ ⁴⁄₃·3,14·125 ≈ 523,3 ≈ 523 cm³.
Ein Zylinder fasst 900 cm³. Wie viel cm³ fasst ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe?
Erklärung: V_Kegel = ⅓·G·h = ⅓·V_Zylinder = 900/3 = 300 cm³.
Ein Kirchturmdach hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit Grundkante 8 m und Körperhöhe 12 m. Wie viel m² Dachfläche (Mantelfläche) sind zu decken (auf ganze m² runden)?
Erklärung: Seitenhöhe hₛ = √(h² + (a/2)²) = √(144 + 16) = √160 ≈ 12,65 m. Mantel = 4 · ½ · a · hₛ = 4 · ½ · 8 · 12,65 ≈ 202 m². Hier zählt hₛ, nicht die Körperhöhe.
Ein Würfel mit Kante 3 cm hat das Volumen 27 cm³. Man verdoppelt die Kante auf 6 cm. Welches Volumen hat der neue Würfel?
Erklärung: Das Volumen skaliert mit k³. Bei k = 2 ist 2³ = 8, also 27 · 8 = 216 cm³. 54 cm³ (·2) wäre lineares Skalieren, 108 cm³ (·4) das Skalieren einer Fläche.
Ein Aquarium wird in allen Maßen verdreifacht. Um welchen Faktor wächst die benötigte Glasfläche (Oberfläche)?
Erklärung: Flächen skalieren mit k². Bei k = 3 ist 3² = 9. ·3 wäre nur die Längenskalierung, ·27 = 3³ die Volumenskalierung.
Ein Wasserturm besteht aus einer Halbkugel (r = 5 m) auf einem Zylinder (r = 5 m, h = 15 m). Berechne das Gesamtvolumen (in m³, π ≈ 3,14, auf ganze m³ runden).
Erklärung: V_Zylinder = π·25·15 = 375π. V_Halbkugel = ⅔·π·125 = 250π/3. V_ges = 375π + 250π/3 = 1375π/3 ≈ 1375·3,14/3 ≈ 1439 m³.
Ein Modellhaus ist im Maßstab 1:20 gebaut. Um welchen Faktor ist das Volumen des echten Hauses größer als das des Modells?
Erklärung: Volumen skaliert mit k³. Bei k = 20 ist 20³ = 8000. ·20 wäre die Länge, ·400 = 20² die Fläche.
Wie viel cm³ Metall braucht man für eine Hohlkugel mit Außenradius R = 10 cm und Innenradius r = 9 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden)?
Erklärung: V = ⁴⁄₃·π·(R³ − r³) = ⁴⁄₃·π·(1000 − 729) = ⁴⁄₃·π·271 ≈ 1135 cm³.
Verdoppelt man alle Abmessungen eines Körpers, vervielfacht sich seine Oberfläche um den Faktor ___.
Erklärung: Die Oberfläche skaliert mit k². Bei k = 2 ist 2² = 4 — das Volumen dagegen mit 2³ = 8.
Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 10 cm. Wie lang ist seine Diagonale?
Erklärung: Die Diagonale eines Quadrats mit Seite a ist d = a√2 = 10√2 ≈ 14,1 cm (Pythagoras). 10√3 gehört zur Raumdiagonale des Würfels.
Ein Bleistift besteht aus einem Zylinder (r = 0,4 cm, Länge 17 cm) mit aufgesetztem Kegel (r = 0,4 cm, h = 1 cm). Berechne das Gesamtvolumen (in cm³, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Erklärung: V_Zylinder = π·0,16·17 ≈ 8,55. V_Kegel = ⅓·π·0,16·1 ≈ 0,17. V_ges ≈ 8,7 cm³.
Ein Kegel und eine Halbkugel haben je den Radius r = 6 cm; der Kegel hat die Höhe h = 8 cm. Um wie viel cm³ ist das Halbkugelvolumen größer als das Kegelvolumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden)?
Erklärung: V_Kegel = ⅓·π·36·8 = 96π ≈ 301,6. V_Halbkugel = ⅔·π·216 = 144π ≈ 452,4. Differenz = 48π ≈ 150,8 ≈ 151 cm³.