Raumgeometrie – Anwendungen
Spatial Geometry Applications
Zusammengesetzte Körper aus dem Alltag werden in Grundkörper zerlegt und berechnet: Silo (Zylinder + Kegel), Wasserturm (Zylinder + Halbkugel), Eistüte, Hohlkugel, ein- und umbeschriebene Körper. Die passende Formel ist nicht mehr durch die Kapitelüberschrift vorgegeben; Trigonometrie, Strahlensatz und Pythagoras liefern fehlende Stücke (Öffnungswinkel, Seitenhöhe, Raumdiagonale). Tragend ist die dimensionale Skalierung: Bei k-facher Vergrößerung wachsen Längen ·k, Flächen ·k² und Volumen ·k³. Das bearbeitet den Linearitätsfehler — den häufigsten Denkfehler bei Maßstabs- und Vergrößerungsaufgaben, ein Volumen wachse ebenfalls nur ·k.
Voraussetzungen (2)
Ein Zylinder fasst 900 cm³. Wie viel cm³ fasst ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe?
Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 10 cm. Wie lang ist seine Diagonale?
Eine Eistüte besteht aus einem Kegel (r = 3 cm, h = 12 cm) mit aufgesetzter Halbkugel (r = 3 cm). Berechne das Gesamtvolumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (r = 4 m, h = 10 m) mit aufgesetztem Kegel (r = 4 m, h = 3 m). Berechne das Gesamtvolumen (in m³, π ≈ 3,14, auf ganze m³ runden).
Ein quadratischer Pyramidenstumpf hat die untere Grundkante a = 6 cm, die obere Grundkante b = 3 cm und die Höhe h = 4 cm. Berechne sein Volumen (auf ganze cm³ runden).
Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Berechne den halben Öffnungswinkel an der Spitze (in Grad, auf ganze runden). Hinweis: tan(α/2) = r/h.
In einen Würfel mit Kantenlänge 10 cm wird die größtmögliche Kugel einbeschrieben. Berechne ihr Volumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden).
Ein Würfel mit Kante 3 cm hat das Volumen 27 cm³. Man verdoppelt die Kante auf 6 cm. Welches Volumen hat der neue Würfel?
Ein Aquarium wird in allen Maßen verdreifacht. Um welchen Faktor wächst die benötigte Glasfläche (Oberfläche)?
Ein Modellhaus ist im Maßstab 1:20 gebaut. Um welchen Faktor ist das Volumen des echten Hauses größer als das des Modells?
Verdoppelt man alle Abmessungen eines Körpers, vervielfacht sich seine Oberfläche um den Faktor ___.
Ein Bleistift besteht aus einem Zylinder (r = 0,4 cm, Länge 17 cm) mit aufgesetztem Kegel (r = 0,4 cm, h = 1 cm). Berechne das Gesamtvolumen (in cm³, π ≈ 3,14, auf 1 Dezimale runden).
Ein Kirchturmdach hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit Grundkante 8 m und Körperhöhe 12 m. Wie viel m² Dachfläche (Mantelfläche) sind zu decken (auf ganze m² runden)?
Ein Wasserturm besteht aus einer Halbkugel (r = 5 m) auf einem Zylinder (r = 5 m, h = 15 m). Berechne das Gesamtvolumen (in m³, π ≈ 3,14, auf ganze m³ runden).
Wie viel cm³ Metall braucht man für eine Hohlkugel mit Außenradius R = 10 cm und Innenradius r = 9 cm (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden)?
Ein Kegel und eine Halbkugel haben je den Radius r = 6 cm; der Kegel hat die Höhe h = 8 cm. Um wie viel cm³ ist das Halbkugelvolumen größer als das Kegelvolumen (π ≈ 3,14, auf ganze cm³ runden)?