Regelmäßige Vielecke
Wie groß ist der Zentriwinkel eines regelmäßigen Sechsecks? (In Grad)
Erklärung: Der Zentriwinkel ist φ = 360°/n = 360°/6 = 60°. Zwei benachbarte Umkreisradien schließen ihn ein.
Welcher Zentriwinkel gehört zu einem regelmäßigen Zwölfeck?
Erklärung: Zentriwinkel φ = 360°/n = 360°/12 = 30°. Die 150° wären der Innenwinkel (n−2)·180°/n, die 60° der Zentriwinkel eines Sechsecks.
Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks? (In Grad)
Erklärung: Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 3·180°/5 = 540°/5 = 108°.
Welchen Innenwinkel hat ein regelmäßiges Zwölfeck?
Erklärung: Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 10·180°/12 = 150°. Die 30° verwechseln ihn mit dem Zentriwinkel 360°/12, die 135° gehören zum Achteck.
Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks? (In Grad)
Erklärung: Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 6·180°/8 = 1080°/8 = 135°.
Verbindet man den Mittelpunkt eines regelmäßigen n-Ecks mit allen Ecken, entstehen ___ kongruente gleichschenklige Bestimmungsdreiecke.
Erklärung: Zu jeder der n Seiten gehört genau ein Bestimmungsdreieck aus zwei Umkreisradien und der Seite.
Beim regelmäßigen Sechseck ist die Seitenlänge gleich dem Umkreisradius.
Erklärung: Richtig. Der Zentriwinkel ist 60°, das Bestimmungsdreieck also gleichseitig (zwei Radien und eine Seite), daher a = rᵤ.
Ein regelmäßiges Zwölfeck hat den Umkreisradius rᵤ = 10 cm. Welche Rechnung liefert die Seitenlänge a?
Erklärung: Im Bestimmungsdreieck liegt die halbe Seite a/2 dem halben Zentriwinkel gegenüber: a/2 = rᵤ·sin(180°/n). Der Kosinus gehört zum Inkreisradius (Ankathete), nicht zur Seite.
Berechne die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks mit Umkreisradius rᵤ = 10 cm. (Auf Zehntel cm)
Erklärung: a = 2·rᵤ·sin(180°/n) = 2·10·sin 36° = 20·0,5878 ≈ 11,8 cm.
Ein regelmäßiges Achteck hat den Umkreisradius rᵤ = 5 cm. Welche Rechnung liefert den Inkreisradius rᵢ?
Erklärung: Im Bestimmungsdreieck ist rᵢ die Höhe auf die Seite, also die Ankathete des halben Zentriwinkels: rᵢ = rᵤ·cos(180°/n). Der Sinus liefert die halbe Seite, nicht den Inkreisradius.
Berechne den Inkreisradius eines regelmäßigen Achtecks mit Umkreisradius rᵤ = 5 cm. (Auf Zehntel cm)
Erklärung: rᵢ = rᵤ·cos(180°/n) = 5·cos 22,5° = 5·0,9239 ≈ 4,6 cm.
Ein regelmäßiges Zehneck hat die Seitenlänge a = 5 cm. Berechne seinen Umkreisradius rᵤ. (Auf Zehntel cm)
Erklärung: a = 2·rᵤ·sin(180°/n), also rᵤ = a/(2·sin 18°) = 5/(2·0,3090) = 5/0,618 ≈ 8,1 cm.
Ein regelmäßiges n-Eck hat Seitenlänge a und Inkreisradius rᵢ. Welcher Term liefert den Flächeninhalt?
Erklärung: Jedes der n Bestimmungsdreiecke hat Grundlinie a und Höhe rᵢ, Fläche also a·rᵢ/2. Zusammen A = n·a·rᵢ/2.
Berechne die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks, das aus einem runden Stahlstab mit Durchmesser 60 mm gehobelt wird. (In mm, auf Zehntel)
Erklärung: Der Umkreisradius ist rᵤ = 30 mm. a = 2·30·sin(180°/5) = 60·sin 36° = 60·0,5878 ≈ 35,3 mm.
Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Sechseck?
Erklärung: Ein regelmäßiges n-Eck hat genau n Symmetrieachsen, das Sechseck also 6.
Ein regelmäßiges Zwölfeck und ein regelmäßiges Sechseck haben beide den Umkreisradius rᵤ = 10 cm. Das Zwölfeck hat den größeren Flächeninhalt.
Erklärung: Richtig. A₁₂ = ½·12·10²·sin 30° = 300 cm², A₆ = ½·6·10²·sin 60° ≈ 259,8 cm² (beide kleiner als π·10² ≈ 314,2 cm²). Bei gleichem Umkreisradius füllt das Vieleck mit mehr Ecken den Umkreis besser aus, seine Fläche liegt näher an π·rᵤ².
Ein regelmäßiges Dreieck (gleichseitig) hat die Seitenlänge 10 cm. Berechne den Flächeninhalt. (In cm², auf Zehntel)
Erklärung: A = ½·a·a·sin 60° = ½·100·0,866 ≈ 43,3 cm² (gleichwertig A = (√3/4)·a²).