Regelmäßige Vielecke

Regular Polygons

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
GeometrieTrigonometrieRegelmäßige VieleckeAnwendungen

Ein regelmäßiges n-Eck zerfällt in n kongruente gleichschenklige Bestimmungs­dreiecke; darüber lassen sich Seitenlänge, Umkreis- und Inkreisradius sowie Flächeninhalt trigonometrisch berechnen. Tragend sind der Zentriwinkel 360°/n und die Halbierung im Bestimmungsdreieck: a/2 = rᵤ·sin(180°/n) und rᵢ = rᵤ·cos(180°/n). Zentri- und Innenwinkel sowie Umkreis- und Inkreisradius müssen dabei sauber getrennt bleiben — die beiden Verwechslungen, an denen die Rechnung sonst kippt. Grenzfall n → ∞: Das Vieleck nähert sich dem Kreis.

Voraussetzungen (2)

Sinussatz und Kosinussatz – Angewandte Dreiecksberechnungen
Klasse 10
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Alles zusammen am Einheitskreis
Klasse 10
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Leicht
Zahleneingabe #1 12s ▶ Testen

Wie groß ist der Zentriwinkel eines regelmäßigen Sechsecks? (In Grad)

✓ Antwort: 60
Der Zentriwinkel ist φ = 360°/n = 360°/6 = 60°. Zwei benachbarte Umkreisradien schließen ihn ein.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welcher Zentriwinkel gehört zu einem regelmäßigen Zwölfeck?

  • ● 30°
  • ○ 150°
  • ○ 60°
Zentriwinkel φ = 360°/n = 360°/12 = 30°. Die 150° wären der Innenwinkel (n−2)·180°/n, die 60° der Zentriwinkel eines Sechsecks.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks? (In Grad)

✓ Antwort: 108
Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 3·180°/5 = 540°/5 = 108°.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks? (In Grad)

✓ Antwort: 135
Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 6·180°/8 = 1080°/8 = 135°.
Lückentext #5 12s ▶ Testen

Verbindet man den Mittelpunkt eines regelmäßigen n-Ecks mit allen Ecken, entstehen ___ kongruente gleichschenklige Bestimmungsdreiecke.

✓ Antwort: n
Zu jeder der n Seiten gehört genau ein Bestimmungsdreieck aus zwei Umkreisradien und der Seite.
Zahleneingabe #6 12s ▶ Testen

Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Sechseck?

✓ Antwort: 6
Ein regelmäßiges n-Eck hat genau n Symmetrieachsen, das Sechseck also 6.
Mittel
Multiple Choice #1 18s ▶ Testen

Welchen Innenwinkel hat ein regelmäßiges Zwölfeck?

  • ● 150°
  • ○ 30°
  • ○ 135°
Innenwinkel = (n−2)·180°/n = 10·180°/12 = 150°. Die 30° verwechseln ihn mit dem Zentriwinkel 360°/12, die 135° gehören zum Achteck.
Wahr / Falsch #2 18s ▶ Testen

Beim regelmäßigen Sechseck ist die Seitenlänge gleich dem Umkreisradius.

✓ Wahr
Richtig. Der Zentriwinkel ist 60°, das Bestimmungsdreieck also gleichseitig (zwei Radien und eine Seite), daher a = rᵤ.
Multiple Choice #3 22s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Zwölfeck hat den Umkreisradius rᵤ = 10 cm. Welche Rechnung liefert die Seitenlänge a?

  • ● a = 2·10·sin(180°/12)
  • ○ a = 2·10·cos(180°/12)
  • ○ a = 10·tan(360°/12)
Im Bestimmungsdreieck liegt die halbe Seite a/2 dem halben Zentriwinkel gegenüber: a/2 = rᵤ·sin(180°/n). Der Kosinus gehört zum Inkreisradius (Ankathete), nicht zur Seite.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks mit Umkreisradius rᵤ = 10 cm. (Auf Zehntel cm)

✓ Antwort: 11.8
a = 2·rᵤ·sin(180°/n) = 2·10·sin 36° = 20·0,5878 ≈ 11,8 cm.
Multiple Choice #5 22s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Achteck hat den Umkreisradius rᵤ = 5 cm. Welche Rechnung liefert den Inkreisradius rᵢ?

  • ● rᵢ = 5·cos(180°/8)
  • ○ rᵢ = 5·sin(180°/8)
  • ○ rᵢ = 5/2
Im Bestimmungsdreieck ist rᵢ die Höhe auf die Seite, also die Ankathete des halben Zentriwinkels: rᵢ = rᵤ·cos(180°/n). Der Sinus liefert die halbe Seite, nicht den Inkreisradius.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Berechne den Inkreisradius eines regelmäßigen Achtecks mit Umkreisradius rᵤ = 5 cm. (Auf Zehntel cm)

✓ Antwort: 4.6
rᵢ = rᵤ·cos(180°/n) = 5·cos 22,5° = 5·0,9239 ≈ 4,6 cm.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Zehneck hat die Seitenlänge a = 5 cm. Berechne seinen Umkreisradius rᵤ. (Auf Zehntel cm)

✓ Antwort: 8.1
a = 2·rᵤ·sin(180°/n), also rᵤ = a/(2·sin 18°) = 5/(2·0,3090) = 5/0,618 ≈ 8,1 cm.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein regelmäßiges n-Eck hat Seitenlänge a und Inkreisradius rᵢ. Welcher Term liefert den Flächeninhalt?

  • ● A = n · a · rᵢ / 2
  • ○ A = n · a² / 4
  • ○ A = n · rᵢ²
Jedes der n Bestimmungsdreiecke hat Grundlinie a und Höhe rᵢ, Fläche also a·rᵢ/2. Zusammen A = n·a·rᵢ/2.
Zahleneingabe #9 25s ▶ Testen

Berechne die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks, das aus einem runden Stahlstab mit Durchmesser 60 mm gehobelt wird. (In mm, auf Zehntel)

✓ Antwort: 35.3
Der Umkreisradius ist rᵤ = 30 mm. a = 2·30·sin(180°/5) = 60·sin 36° = 60·0,5878 ≈ 35,3 mm.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Zwölfeck und ein regelmäßiges Sechseck haben beide den Umkreisradius rᵤ = 10 cm. Das Zwölfeck hat den größeren Flächeninhalt.

✓ Wahr
Richtig. A₁₂ = ½·12·10²·sin 30° = 300 cm², A₆ = ½·6·10²·sin 60° ≈ 259,8 cm² (beide kleiner als π·10² ≈ 314,2 cm²). Bei gleichem Umkreisradius füllt das Vieleck mit mehr Ecken den Umkreis besser aus, seine Fläche liegt näher an π·rᵤ².
Zahleneingabe #11 22s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Dreieck (gleichseitig) hat die Seitenlänge 10 cm. Berechne den Flächeninhalt. (In cm², auf Zehntel)

✓ Antwort: 43.3
A = ½·a·a·sin 60° = ½·100·0,866 ≈ 43,3 cm² (gleichwertig A = (√3/4)·a²).