Sinus- und Kosinusfunktion
Bestimme sin(Ï€/2).
Erklärung: Am Einheitskreis gehört zu π/2 (= 90°) der Punkt (0|1). Der Sinuswert ist die y-Koordinate, also sin(π/2) = 1.
Bestimme cos(Ï€).
Erklärung: Am Einheitskreis gehört zu π (= 180°) der Punkt (−1|0). Der Kosinuswert ist die x-Koordinate, also cos(π) = −1.
sin(0) = ___
Erklärung: Am Einheitskreis gehört zu 0 der Punkt (1|0). Die y-Koordinate ist 0, also sin(0) = 0.
Bestimme sin(3Ï€/2).
Erklärung: Am Einheitskreis gehört zu 3π/2 (= 270°) der Punkt (0|−1). Also sin(3π/2) = −1.
Es gilt sin(13Ï€/6) = sin(Ï€/6).
Erklärung: Richtig. 13π/6 = π/6 + 2π, und die Sinusfunktion hat die Periode 2π (sin(x + 2π) = sin(x) für alle x). Nach einem vollen Umlauf am Einheitskreis wiederholen sich die Werte.
Es gilt sin(−π/6) = −sin(π/6).
Erklärung: Richtig. sin(−x) = −sin(x) für alle x, denn der Sinus ist eine ungerade Funktion und punktsymmetrisch zum Ursprung. Für x = π/6 folgt sin(−π/6) = −sin(π/6).
Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur ___-Achse.
Erklärung: cos(−x) = cos(x), also ist der Kosinus eine gerade Funktion und achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die Amplitude der Funktion f(x) = 5·sin(2x) beträgt ___.
Erklärung: Bei a·sin(b·x) ist |a| die Amplitude. Hier a = 5, die 2 vor dem x betrifft die Periode, nicht die Amplitude.
Bestimme die Periode von f(x) = sin(3x). (Auf drei Nachkommastellen runden)
Erklärung: Die Periode ist 2π/b = 2π/3 ≈ 2,094. Der Faktor b staucht den Graphen, die Periode wird kleiner.
Welchen Wertebereich hat f(x) = 3·sin(x) + 1?
Erklärung: sin(x) ∈ [−1; 1], also 3·sin(x) ∈ [−3; 3] und 3·sin(x) + 1 ∈ [−2; 4]. [−3; 3] vergisst die Verschiebung um +1; [1; 4] behandelt die +1 fälschlich als Minimum.
Welche Periode hat f(x) = 2·sin(4x)?
Erklärung: Die Periode ist 2π/b = 2π/4 = π/2. Wer 4 wählt, liest den Koeffizienten b direkt als Periode (Amplitude/Perioden-Verwechslung); 2π entsteht, wenn man den Faktor b ganz ignoriert.
Welche Funktion hat die Amplitude 2 und die Periode π?
Erklärung: Amplitude 2 ⟹ a = 2; Periode π ⟹ 2π/b = π ⟹ b = 2, also 2·sin(2x). Bei 2·sin(½x) ist die Periode 4π (b und Periode verwechselt); bei ½·sin(2x) ist die Amplitude nur ½.
Der Graph von g entsteht aus f(x) = sin(x), indem man ihn um 2 nach oben verschiebt. Welcher Term gehört zu g?
Erklärung: Eine Verschiebung um 2 nach oben addiert man außerhalb: g(x) = sin(x) + 2. sin(x + 2) verschiebt nach links (waagrecht statt senkrecht); 2·sin(x) streckt in y-Richtung, statt zu verschieben.
Es gilt: sin(π/6 + π/3) = sin(π/6) + sin(π/3).
Erklärung: Falsch. Links steht sin(π/2) = 1, rechts sin(30°) + sin(60°) = 0,5 + 0,866 ≈ 1,37. Der Sinus ist nicht linear — man darf ihn nicht summandenweise auf die Klammer anwenden.
Für alle x gilt: sin(2x) = 2·sin(x).
Erklärung: Falsch. Für x = π/2 ist sin(π) = 0, aber 2·sin(π/2) = 2. Der Faktor 2 im Argument staucht die Periode, er darf nicht als Faktor herausgezogen werden.
Für welche Winkel x ∈ [0; 2π] gilt sin(x) = 0?
Erklärung: sin(x) = 0 an den Punkten auf der x-Achse: x = 0, π und 2π. Bei π/2 und 3π/2 ist der Sinus ±1 (dort ist der Kosinus null); die dritte Option mischt Sinus- und Kosinusnullstellen.
Die Tagestemperatur wird modelliert durch T(t) = 8·sin(π/12·(t − 8)) + 15 (t in Stunden ab Mitternacht). Wann wird das Maximum erreicht?
Erklärung: Das Maximum des Sinus liegt bei Argument π/2: π/12·(t − 8) = π/2 ⟹ t − 8 = 6 ⟹ t = 14. Um 8 Uhr ist das Argument 0 (Mittelwert), um 20 Uhr wieder 0 nach dem Nulldurchgang.
Die Maximaltemperatur im Modell T(t) = 8·sin(π/12·(t − 8)) + 15 beträgt ___ °C.
Erklärung: Das Maximum des Sinus ist 1, also T_max = 8·1 + 15 = 23 °C.