Sinus- und Kosinusfunktion

Sine and Cosine Functions

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
TrigonometrieFunktionenPeriodizitätEinheitskreisKerncurriculum

Trägt man die Sinus- und Kosinuswerte des Einheitskreises über dem Bogenmaß ab, entstehen zwei periodische Kurven mit Periode 2π und Wertebereich [−1; 1]. In der Form a·sin(b·(x + c)) + d steuert a die Amplitude, b die Periode (2π/b), c die waagrechte Verschiebung und d die Mittellinie. Damit lassen sich periodische Vorgänge wie Gezeiten, Tageslängen und Schwingungen modellieren. Der Einheitskreis liefert die Werte für jeden Winkel, auch jenseits von 90°.

Voraussetzungen (2)

Bogenmaß
Klasse 10
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Alles zusammen am Einheitskreis
Klasse 10
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Ermöglicht (4)

Die Tangensfunktion
Klasse 10
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Funktionstransformationen
Klasse 10
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Trigonometrische Funktionen in der Analysis
Klasse 13
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Trigonometrische Gleichungen
Klasse 10
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Leicht
Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

Bestimme sin(π/2).

✓ Antwort: 1
Am Einheitskreis gehört zu π/2 (= 90°) der Punkt (0|1). Der Sinuswert ist die y-Koordinate, also sin(π/2) = 1.
Zahleneingabe #2 10s ▶ Testen

Bestimme cos(π).

✓ Antwort: -1
Am Einheitskreis gehört zu π (= 180°) der Punkt (−1|0). Der Kosinuswert ist die x-Koordinate, also cos(π) = −1.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

sin(0) = ___

✓ Antwort: 0
Am Einheitskreis gehört zu 0 der Punkt (1|0). Die y-Koordinate ist 0, also sin(0) = 0.
Zahleneingabe #4 12s ▶ Testen

Bestimme sin(3π/2).

✓ Antwort: -1
Am Einheitskreis gehört zu 3π/2 (= 270°) der Punkt (0|−1). Also sin(3π/2) = −1.
Lückentext #5 10s ▶ Testen

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur ___-Achse.

✓ Antwort: y
cos(−x) = cos(x), also ist der Kosinus eine gerade Funktion und achsensymmetrisch zur y-Achse.
Lückentext #6 12s ▶ Testen

Die Amplitude der Funktion f(x) = 5·sin(2x) beträgt ___.

✓ Antwort: 5
Bei a·sin(b·x) ist |a| die Amplitude. Hier a = 5, die 2 vor dem x betrifft die Periode, nicht die Amplitude.
Mittel
Wahr / Falsch #1 12s ▶ Testen

Es gilt sin(13π/6) = sin(π/6).

✓ Wahr
Richtig. 13π/6 = π/6 + 2π, und die Sinusfunktion hat die Periode 2π (sin(x + 2π) = sin(x) für alle x). Nach einem vollen Umlauf am Einheitskreis wiederholen sich die Werte.
Wahr / Falsch #2 12s ▶ Testen

Es gilt sin(−π/6) = −sin(π/6).

✓ Wahr
Richtig. sin(−x) = −sin(x) für alle x, denn der Sinus ist eine ungerade Funktion und punktsymmetrisch zum Ursprung. Für x = π/6 folgt sin(−π/6) = −sin(π/6).
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Bestimme die Periode von f(x) = sin(3x). (Auf drei Nachkommastellen runden)

✓ Antwort: 2.094
Die Periode ist 2π/b = 2π/3 ≈ 2,094. Der Faktor b staucht den Graphen, die Periode wird kleiner.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen Wertebereich hat f(x) = 3·sin(x) + 1?

  • ● [−2; 4]
  • ○ [−3; 3]
  • ○ [1; 4]
sin(x) ∈ [−1; 1], also 3·sin(x) ∈ [−3; 3] und 3·sin(x) + 1 ∈ [−2; 4]. [−3; 3] vergisst die Verschiebung um +1; [1; 4] behandelt die +1 fälschlich als Minimum.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Periode hat f(x) = 2·sin(4x)?

  • ● π/2
  • ○ 4
  • ○ 2π
Die Periode ist 2π/b = 2π/4 = π/2. Wer 4 wählt, liest den Koeffizienten b direkt als Periode (Amplitude/Perioden-Verwechslung); 2π entsteht, wenn man den Faktor b ganz ignoriert.
Multiple Choice #6 22s ▶ Testen

Der Graph von g entsteht aus f(x) = sin(x), indem man ihn um 2 nach oben verschiebt. Welcher Term gehört zu g?

  • ● sin(x) + 2
  • ○ sin(x + 2)
  • ○ 2·sin(x)
Eine Verschiebung um 2 nach oben addiert man außerhalb: g(x) = sin(x) + 2. sin(x + 2) verschiebt nach links (waagrecht statt senkrecht); 2·sin(x) streckt in y-Richtung, statt zu verschieben.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Es gilt: sin(π/6 + π/3) = sin(π/6) + sin(π/3).

✓ Falsch
Falsch. Links steht sin(π/2) = 1, rechts sin(30°) + sin(60°) = 0,5 + 0,866 ≈ 1,37. Der Sinus ist nicht linear — man darf ihn nicht summandenweise auf die Klammer anwenden.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Für alle x gilt: sin(2x) = 2·sin(x).

✓ Falsch
Falsch. Für x = π/2 ist sin(π) = 0, aber 2·sin(π/2) = 2. Der Faktor 2 im Argument staucht die Periode, er darf nicht als Faktor herausgezogen werden.
Multiple Choice #9 22s ▶ Testen

Für welche Winkel x ∈ [0; 2π] gilt sin(x) = 0?

  • ● x = 0, π, 2π
  • ○ x = π/2, 3π/2
  • ○ x = 0, π/2, π
sin(x) = 0 an den Punkten auf der x-Achse: x = 0, π und 2π. Bei π/2 und 3π/2 ist der Sinus ±1 (dort ist der Kosinus null); die dritte Option mischt Sinus- und Kosinusnullstellen.
Zahleneingabe #10 15s ▶ Testen

Die Maximaltemperatur im Modell T(t) = 8·sin(π/12·(t − 8)) + 15 beträgt ___ °C.

✓ Antwort: 23
Das Maximum des Sinus ist 1, also T_max = 8·1 + 15 = 23 °C.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Funktion hat die Amplitude 2 und die Periode π?

  • ● 2·sin(2x)
  • ○ 2·sin(½x)
  • ○ ½·sin(2x)
Amplitude 2 ⟹ a = 2; Periode π ⟹ 2π/b = π ⟹ b = 2, also 2·sin(2x). Bei 2·sin(½x) ist die Periode 4π (b und Periode verwechselt); bei ½·sin(2x) ist die Amplitude nur ½.
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Die Tagestemperatur wird modelliert durch T(t) = 8·sin(π/12·(t − 8)) + 15 (t in Stunden ab Mitternacht). Wann wird das Maximum erreicht?

  • ● Um 14 Uhr
  • ○ Um 8 Uhr
  • ○ Um 20 Uhr
Das Maximum des Sinus liegt bei Argument π/2: π/12·(t − 8) = π/2 ⟹ t − 8 = 6 ⟹ t = 14. Um 8 Uhr ist das Argument 0 (Mittelwert), um 20 Uhr wieder 0 nach dem Nulldurchgang.