Sinussatz und Kosinussatz – Angewandte Dreiecksberechnungen
Gegeben sind die drei Seiten a = 6, b = 8, c = 9. Welche Rechnung liefert den Winkel γ?
Erklärung: Bei drei gegebenen Seiten (SSS) fehlt jedes Seiten-Gegenwinkel-Paar, das der Sinussatz bräuchte — also der Kosinussatz: cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab).
Gegeben sind a = 5, b = 7 und der eingeschlossene Winkel γ = 60°. Welche Rechnung liefert die Seite c?
Erklärung: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) sind der Kosinussatz-Fall. Der Sinussatz scheitert, weil kein Winkel einer gegebenen Seite gegenüberliegt; die reine Pythagoras-Formel ignoriert den Winkel γ ≠ 90°.
Gegeben sind a = 3, b = 4 und β = 65° (β liegt der Seite b gegenüber). Welche Rechnung liefert den Winkel α?
Erklärung: Sinussatz sin α/a = sin β/b, also sin α = a·sin β/b = 3·sin 65°/4. Die zweite Option vertauscht die Seiten a und b; die dritte bräuchte die noch unbekannte Seite c.
Dreieck ABC: a = 3 cm, b = 4 cm, β = 65°. Berechne α. (Auf Zehntel Grad)
Erklärung: sin α = a·sin β/b = 3·sin 65°/4 = 3·0,9063/4 = 0,6797, also α = sin⁻¹(0,6797) ≈ 42,8°.
Dreieck ABC: a = 14 m, b = 12 m, γ = 60°. Berechne c. (Auf Zehntel Meter)
Erklärung: c² = a² + b² − 2ab·cos γ = 196 + 144 − 2·14·12·0,5 = 340 − 168 = 172, also c = √172 ≈ 13,1 m.
Dreieck ABC: a = 13 cm, b = 24 cm, c = 15 cm. Berechne den Winkel β. (Auf ganze Grad)
Erklärung: cos β = (a² + c² − b²)/(2ac) = (169 + 225 − 576)/(2·13·15) = −182/390 = −0,467, also β = cos⁻¹(−0,467) ≈ 118°.
Dreieck ABC: β = 38,5°, γ = 66,4°. Berechne α. (In Grad, auf Zehntel)
Erklärung: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°: α = 180° − β − γ = 180° − 38,5° − 66,4° = 75,1°.
Der Sinussatz liefert sin β = 0,64, also β ≈ 40°. Welcher weitere Winkel kommt als zweite Lösung für β in Frage?
Erklärung: Wegen sin β = sin(180° − β) gehört zu jedem Sinuswert ein spitzer und ein stumpfer Winkel: 180° − 40° = 140°. Die 50° wären der Komplementwinkel, die 320° die Kosinus-Symmetrie.
sin β = 0,8 liefert β ≈ 53° oder β ≈ 127°. Im Dreieck ist bereits α = 70° gegeben. Welche Lösung für β bleibt gültig?
Erklärung: Die stumpfe Lösung scheidet aus: 70° + 127° = 197° > 180° sprengt die Winkelsumme. Der SSA-Fall wird immer über die 180°-Probe entschieden, nicht durch bloßes Übernehmen beider Sinuslösungen.
Dreieck mit a = 7, b = 5, c = 9. Du willst alle Winkel bestimmen. Welchen Winkel berechnest du zuerst mit dem Kosinussatz?
Erklärung: Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber — nur er kann stumpf sein. Ist er zuerst per Kosinussatz bestimmt, sind die übrigen Winkel spitz und der anschließende Sinussatz eindeutig.
Dreieck ABC: a = 7, b = 5, c = 9. Berechne den größten Winkel γ. (Auf ganze Grad)
Erklärung: cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab) = (49 + 25 − 81)/(2·7·5) = −7/70 = −0,1, also γ = cos⁻¹(−0,1) ≈ 95,7° ≈ 96° — stumpf, wie erwartet, weil c die längste Seite ist.
cos β = −0,47 gehört zu genau einem Winkel β zwischen 0° und 180°.
Erklärung: Richtig. Die Kosinusfunktion fällt auf [0°; 180°] streng monoton, jeder Wert gehört zu genau einem Winkel. Anders als beim Sinussatz gibt es beim Kosinussatz keine Zweideutigkeit.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit a = 8 cm, b = 6 cm, γ = 30°. (In cm²)
Erklärung: A = ½·a·b·sin γ = ½·8·6·sin 30° = ½·8·6·0,5 = 12 cm².
Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a und b und dem eingeschlossenen Winkel γ ist A = ½ · a · b · ___.
Erklärung: A = ½·a·b·sin γ. Die Höhe auf a ist h = b·sin γ, eingesetzt in ½·Grundseite·Höhe folgt die Formel.
Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 6 cm und den eingeschlossenen (stumpfen) Winkel γ = 120°. Sein Flächeninhalt ist A = ½·8·6·sin 120° ≈ 20,8 cm².
Erklärung: Richtig. ½·48·sin 120° = ½·48·0,8660 = 20,78 ≈ 20,8 cm². Für jeden Winkel 0° < γ < 180° ist sin γ > 0, daher gilt die Flächenformel auch im stumpfwinkligen Fall (sin 120° = sin 60° > 0).
Ein Parallelogramm hat Diagonalen der Länge e = 32 cm und f = 18 cm, die den Winkel ε = 24° einschließen. Berechne den Flächeninhalt. (In cm², auf ganze Zahl)
Erklärung: A = ½·e·f·sin ε = ½·32·18·sin 24° ≈ ½·32·18·0,4067 ≈ 117 cm².
Von der Standlinie AB = 117 m werden zu einem Punkt P am anderen Ufer die Winkel α = 89,2° (bei A) und β = 38,6° (bei B) gemessen. Berechne AP. (Auf Meter runden)
Erklärung: γ = 180° − 89,2° − 38,6° = 52,2°. AP liegt dem Winkel β gegenüber, also AP/sin β = AB/sin γ und AP = 117·sin 38,6°/sin 52,2° ≈ 92 m.
Gegeben sind b = 6 cm, c = 10 cm und der eingeschlossene Winkel α = 40°; gesucht ist der Flächeninhalt. Welche Rechnung passt?
Erklärung: A = ½ · b · c · sin α ≈ 19,3 cm². Der Sinus liefert die Höhe über der Seite; ohne den Faktor ½ berechnet man das Parallelogramm.
Ein Dreieck hat b = 52 cm, c = 34 cm und den eingeschlossenen Winkel α = 67,38°. Berechne den Flächeninhalt (in cm², auf ganze cm² genau).
Erklärung: A = ½ · 52 · 34 · sin 67,38° ≈ 884 · 0,923 ≈ 816 cm².
Ein Dreieck hat a = 9 cm, c = 14 cm und den eingeschlossenen Winkel β = 130°. Berechne den Flächeninhalt (in cm², auf 0,1 cm² genau).
Erklärung: A = ½ · 9 · 14 · sin 130° ≈ 63 · 0,766 ≈ 48,3 cm². Bei stumpfem Winkel ist der Sinus immer noch positiv — die Formel gilt unverändert.
Im Dreieck ABC sind AB = 5, AC = 4 und der Winkel α = ∢BAC = 50°
bekannt. Der Punkt D liegt auf der Verlängerung von AB über B
hinaus, mit BD = 1,5 · a. Berechne im Teildreieck BDC die Länge der
Strecke CD und den Winkel φ bei C.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Kette ist Kosinussatz, Kosinussatz, Sinussatz. Der Knackpunkt ist der Winkel bei B — im Teildreieck liegt nicht β, sondern der Nebenwinkel 180° − β.
In einem Dreieck sind a = 50 cm, b = 52 cm, c = 34 cm und der Winkel
α = 67,38° gegeben. Berechne die beiden fehlenden Winkel mit dem
Sinussatz und anschließend den Flächeninhalt des Dreiecks. Prüfe am
Schluss die Winkelsumme.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst die Winkel, dann die Fläche — und die Flächenformel braucht genau die beiden Seiten, die den benutzten Winkel einschließen. Zu α = 67,38° gehören b und c.
Die Höhe eines Baumes soll aus zwei Winkelmessungen und einer
waagrechten Standlinie bestimmt werden. Die beiden Messpunkte liegen
c = 20 m auseinander, der Baum steht in derselben Richtung
dahinter. Vom hinteren Punkt erscheint die Spitze unter α = 45°, vom
vorderen unter β = 65°. Berechne zuerst mit dem Sinussatz die
Entfernung vom vorderen Messpunkt zur Spitze und daraus die Höhe h
des Baumes.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Winkel und die Standlinie legen das Dreieck fest — der Sinussatz liefert eine Seite, erst danach kommt das rechtwinklige Dreieck für die Höhe. Das ist das Standardverfahren der Geländevermessung.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Schenkel a = b = 44,2 cm und
die Basis c = 63,4 cm. Berechne alle drei Innenwinkel — diesmal
ohne die Höhe, nur mit dem Kosinussatz und der Winkelsumme. Prüfe am
Schluss, ob die beiden Basiswinkel wirklich gleich groß sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Kosinussatz kommt hier ohne Hilfslinie aus und entscheidet am Vorzeichen, ob der Spitzenwinkel spitz oder stumpf ist — hier knapp stumpf mit 91,6°.