Sinussatz und Kosinussatz – Angewandte Dreiecksberechnungen

Law of Sines and Cosines – Applied Triangle Calculations

Mathematik Klasse 10 24 Aufgaben

TrigonometrieGeometrieSinussatzKosinussatzAnwendungen

Jedes beliebige Dreieck — nicht nur das rechtwinklige — lässt sich mit zwei Sätzen berechnen: dem Sinussatz a/sin α = b/sin β und dem Kosinussatz a² = b² + c² − 2bc·cos α. Der Kern ist die Auswahl — Kosinussatz bei SSS und SWS, Sinussatz, sobald ein Seiten-Gegenwinkel-Paar vorliegt. Der SSW-Fall trägt die Mehrdeutigkeit sin α = sin(180°−α); welcher Winkel gilt, entscheiden die Winkelsumme und die gegebenen Seiten — genau die Fehlerquelle, die diese Einheit entschärft.

Vorrechnen (7)

Im rechtwinkligen Dreieck genügen Sinus, Kosinus und Tangens, um aus zwei Stücken alle anderen zu bestimmen. Im allgemeinen Dreieck — ohne rechten Winkel — brauchen wir zwei Verallgemeinerungen: den Sinussatz und den Kosinussatz.

Der Sinussatz verbindet jede Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel. Für jedes Dreieck gilt:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$

Wir verwenden ihn, wenn ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt ist und wir ein anderes solches Paar suchen. Typische Aufgabentypen: SSW (zwei Seiten und der Gegenwinkel einer von ihnen) oder WSW / SWW (zwei Winkel und eine Seite).

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ$

Wir verwenden ihn, wenn der eingeschlossene Winkel und die beiden anliegenden Seiten bekannt sind (SWS → dritte Seite), oder wenn alle drei Seiten bekannt sind (SSS → jeden Innenwinkel).

Bei $γ = 90°$ wird $cos γ = 0$ und der Kosinussatz reduziert sich auf $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — den Satz des Pythagoras. Beide Sätze sind also echte Verallgemeinerungen der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck.

Verändere den Winkel α mit dem Schieberegler. Beobachte, wie sich die Seite a und die Winkel β, γ mitverändern — der Sinussatz

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ}

gilt für jedes Dreieck, das du so erzeugst.

Die folgenden sieben Vorrechnen-Beispiele rechnen diese Aufgabenarten Schritt für Schritt vor — von SSS und SSW bis zu Sachaufgaben, in denen erst ein Teildreieck oder ein Nebenwinkel gefunden werden muss.

Voraussetzungen (2)

Alles zusammen am Einheitskreis

Klasse 10

›

Anwendungen am rechtwinkligen Dreieck

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Regelmäßige Vielecke

Klasse 10

›

Leicht

Zahleneingabe #1 12s ▶ Testen

Dreieck ABC: β = 38,5°, γ = 66,4°. Berechne α. (In Grad, auf Zehntel)

✓ Antwort: 75.1

Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°: α = 180° − β − γ = 180° − 38,5° − 66,4° = 75,1°.

Zahleneingabe #2 18s ▶ Testen

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit a = 8 cm, b = 6 cm, γ = 30°. (In cm²)

✓ Antwort: 12

A = ½·a·b·sin γ = ½·8·6·sin 30° = ½·8·6·0,5 = 12 cm².

Lückentext #3 12s ▶ Testen

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a und b und dem eingeschlossenen Winkel γ ist A = ½ · a · b · ___.

✓ Antwort: sin γ

A = ½·a·b·sin γ. Die Höhe auf a ist h = b·sin γ, eingesetzt in ½·Grundseite·Höhe folgt die Formel.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Gegeben sind die drei Seiten a = 6, b = 8, c = 9. Welche Rechnung liefert den Winkel γ?

● cos γ = (6² + 8² − 9²)/(2·6·8)
○ sin γ = 9·sin α/6
○ γ² = 6² + 8² − 9²

Bei drei gegebenen Seiten (SSS) fehlt jedes Seiten-Gegenwinkel-Paar, das der Sinussatz bräuchte — also der Kosinussatz: cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Gegeben sind a = 5, b = 7 und der eingeschlossene Winkel γ = 60°. Welche Rechnung liefert die Seite c?

● c² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60°
○ c/sin 60° = 5/sin α
○ c² = 5² + 7²

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) sind der Kosinussatz-Fall. Der Sinussatz scheitert, weil kein Winkel einer gegebenen Seite gegenüberliegt; die reine Pythagoras-Formel ignoriert den Winkel γ ≠ 90°.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Gegeben sind a = 3, b = 4 und β = 65° (β liegt der Seite b gegenüber). Welche Rechnung liefert den Winkel α?

● sin α = 3·sin 65°/4
○ sin α = 4·sin 65°/3
○ cos α = (4² + c² − 3²)/(2·4·c)

Sinussatz sin α/a = sin β/b, also sin α = a·sin β/b = 3·sin 65°/4. Die zweite Option vertauscht die Seiten a und b; die dritte bräuchte die noch unbekannte Seite c.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Dreieck ABC: a = 3 cm, b = 4 cm, β = 65°. Berechne α. (Auf Zehntel Grad)

✓ Antwort: 42.8

sin α = a·sin β/b = 3·sin 65°/4 = 3·0,9063/4 = 0,6797, also α = sin⁻¹(0,6797) ≈ 42,8°.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Dreieck ABC: a = 14 m, b = 12 m, γ = 60°. Berechne c. (Auf Zehntel Meter)

✓ Antwort: 13.1

c² = a² + b² − 2ab·cos γ = 196 + 144 − 2·14·12·0,5 = 340 − 168 = 172, also c = √172 ≈ 13,1 m.

Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Dreieck ABC: a = 13 cm, b = 24 cm, c = 15 cm. Berechne den Winkel β. (Auf ganze Grad)

✓ Antwort: 118

cos β = (a² + c² − b²)/(2ac) = (169 + 225 − 576)/(2·13·15) = −182/390 = −0,467, also β = cos⁻¹(−0,467) ≈ 118°.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Sinussatz liefert sin β = 0,64, also β ≈ 40°. Welcher weitere Winkel kommt als zweite Lösung für β in Frage?

● β ≈ 140°
○ β ≈ 50°
○ β ≈ 320°

Wegen sin β = sin(180° − β) gehört zu jedem Sinuswert ein spitzer und ein stumpfer Winkel: 180° − 40° = 140°. Die 50° wären der Komplementwinkel, die 320° die Kosinus-Symmetrie.

Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

Dreieck ABC: a = 7, b = 5, c = 9. Berechne den größten Winkel γ. (Auf ganze Grad)

✓ Antwort: 96

cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab) = (49 + 25 − 81)/(2·7·5) = −7/70 = −0,1, also γ = cos⁻¹(−0,1) ≈ 95,7° ≈ 96° — stumpf, wie erwartet, weil c die längste Seite ist.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

cos β = −0,47 gehört zu genau einem Winkel β zwischen 0° und 180°.

✓ Wahr

Richtig. Die Kosinusfunktion fällt auf [0°; 180°] streng monoton, jeder Wert gehört zu genau einem Winkel. Anders als beim Sinussatz gibt es beim Kosinussatz keine Zweideutigkeit.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 6 cm und den eingeschlossenen (stumpfen) Winkel γ = 120°. Sein Flächeninhalt ist A = ½·8·6·sin 120° ≈ 20,8 cm².

✓ Wahr

Richtig. ½·48·sin 120° = ½·48·0,8660 = 20,78 ≈ 20,8 cm². Für jeden Winkel 0° < γ < 180° ist sin γ > 0, daher gilt die Flächenformel auch im stumpfwinkligen Fall (sin 120° = sin 60° > 0).

Zahleneingabe #11 25s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat Diagonalen der Länge e = 32 cm und f = 18 cm, die den Winkel ε = 24° einschließen. Berechne den Flächeninhalt. (In cm², auf ganze Zahl)

✓ Antwort: 117

A = ½·e·f·sin ε = ½·32·18·sin 24° ≈ ½·32·18·0,4067 ≈ 117 cm².

Multiple Choice #12 35s ▶ Testen

Gegeben sind b = 6 cm, c = 10 cm und der eingeschlossene Winkel α = 40°; gesucht ist der Flächeninhalt. Welche Rechnung passt?

● ½ · 6 · 10 · sin 40°
○ ½ · 6 · 10 · cos 40°
○ 6 · 10 · sin 40°

A = ½ · b · c · sin α ≈ 19,3 cm². Der Sinus liefert die Höhe über der Seite; ohne den Faktor ½ berechnet man das Parallelogramm.

Zahleneingabe #13 50s ▶ Testen

Ein Dreieck hat b = 52 cm, c = 34 cm und den eingeschlossenen Winkel α = 67,38°. Berechne den Flächeninhalt (in cm², auf ganze cm² genau).

✓ Antwort: 816

A = ½ · 52 · 34 · sin 67,38° ≈ 884 · 0,923 ≈ 816 cm².

Zahleneingabe #14 50s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 9 cm, c = 14 cm und den eingeschlossenen Winkel β = 130°. Berechne den Flächeninhalt (in cm², auf 0,1 cm² genau).

✓ Antwort: 48.3

A = ½ · 9 · 14 · sin 130° ≈ 63 · 0,766 ≈ 48,3 cm². Bei stumpfem Winkel ist der Sinus immer noch positiv — die Formel gilt unverändert.

KI-bewertete Rechnung #15 420s ▶ Testen

Im Dreieck ABC sind AB = 5, AC = 4 und der Winkel α = ∢BAC = 50° bekannt. Der Punkt D liegt auf der Verlängerung von AB über B hinaus, mit BD = 1,5 · a. Berechne im Teildreieck BDC die Länge der Strecke CD und den Winkel φ bei C. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Schritt 1 (Kosinussatz in ABC): a² = 4² + 5² − 2 · 4 · 5 · cos 50° ≈ 15,29, also a ≈ 3,91. Schritt 2: cos β = (a² + c² − b²)/(2ac) ≈ 0,621, also β ≈ 51,6°, und der Innenwinkel bei B im Teildreieck ist β' = 180° − 51,6° = 128,4°. Schritt 3: BD = 1,5 · 3,91 ≈ 5,87. Kosinussatz in BDC: CD² = 5,87² + 3,91² − 2 · 5,87 · 3,91 · cos 128,4° ≈ 78,2, also CD ≈ 8,84. Schritt 4 (Sinussatz): sin φ = BD · sin 128,4° / CD ≈ 0,520, also φ ≈ 31,3°.

Die Kette ist Kosinussatz, Kosinussatz, Sinussatz. Der Knackpunkt ist der Winkel bei B — im Teildreieck liegt nicht β, sondern der Nebenwinkel 180° − β.

KI-bewertete Rechnung #16 360s ▶ Testen

In einem Dreieck sind a = 50 cm, b = 52 cm, c = 34 cm und der Winkel α = 67,38° gegeben. Berechne die beiden fehlenden Winkel mit dem Sinussatz und anschließend den Flächeninhalt des Dreiecks. Prüfe am Schluss die Winkelsumme. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin β = 52 · sin 67,38° / 50 ≈ 0,960, also β ≈ 73,7°. γ = 180° − 67,38° − 73,74° ≈ 38,9°. Flächeninhalt: A = ½ · b · c · sin α = ½ · 52 · 34 · sin 67,38° ≈ 816 cm². Probe: 67,4° + 73,7° + 38,9° ≈ 180°.

Erst die Winkel, dann die Fläche — und die Flächenformel braucht genau die beiden Seiten, die den benutzten Winkel einschließen. Zu α = 67,38° gehören b und c.

KI-bewertete Rechnung #17 420s ▶ Testen

Die Höhe eines Baumes soll aus zwei Winkelmessungen und einer waagrechten Standlinie bestimmt werden. Die beiden Messpunkte liegen c = 20 m auseinander, der Baum steht in derselben Richtung dahinter. Vom hinteren Punkt erscheint die Spitze unter α = 45°, vom vorderen unter β = 65°. Berechne zuerst mit dem Sinussatz die Entfernung vom vorderen Messpunkt zur Spitze und daraus die Höhe h des Baumes. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Im Dreieck aus den beiden Messpunkten und der Spitze ist der Innenwinkel am vorderen Punkt 180° − 65° = 115°, also der Winkel an der Spitze 180° − 45° − 115° = 20°. Sinussatz: e = 20 m · sin 45° / sin 20° ≈ 41,3 m. Rechtwinkliges Dreieck: h = e · sin 65° ≈ 41,3 m · 0,906 ≈ 37,5 m.

Zwei Winkel und die Standlinie legen das Dreieck fest — der Sinussatz liefert eine Seite, erst danach kommt das rechtwinklige Dreieck für die Höhe. Das ist das Standardverfahren der Geländevermessung.

KI-bewertete Rechnung #18 360s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Schenkel a = b = 44,2 cm und die Basis c = 63,4 cm. Berechne alle drei Innenwinkel — diesmal ohne die Höhe, nur mit dem Kosinussatz und der Winkelsumme. Prüfe am Schluss, ob die beiden Basiswinkel wirklich gleich groß sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab) = (1953,64 + 1953,64 − 4019,56)/3907,28 ≈ −0,0287, also γ ≈ 91,6°. Aus der Winkelsumme folgt α = β = (180° − 91,6°)/2 ≈ 44,2°. Probe mit dem Kosinussatz: cos α = (b² + c² − a²)/(2bc) ≈ 0,717, also α ≈ 44,2° — passt.

Der Kosinussatz kommt hier ohne Hilfslinie aus und entscheidet am Vorzeichen, ob der Spitzenwinkel spitz oder stumpf ist — hier knapp stumpf mit 91,6°.

Schwer

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

sin β = 0,8 liefert β ≈ 53° oder β ≈ 127°. Im Dreieck ist bereits α = 70° gegeben. Welche Lösung für β bleibt gültig?

● Nur β ≈ 53°
○ Nur β ≈ 127°
○ Beide Lösungen

Die stumpfe Lösung scheidet aus: 70° + 127° = 197° > 180° sprengt die Winkelsumme. Der SSA-Fall wird immer über die 180°-Probe entschieden, nicht durch bloßes Übernehmen beider Sinuslösungen.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Dreieck mit a = 7, b = 5, c = 9. Du willst alle Winkel bestimmen. Welchen Winkel berechnest du zuerst mit dem Kosinussatz?

● γ, den Winkel gegenüber der längsten Seite c = 9
○ β, den Winkel gegenüber der kürzesten Seite b = 5
○ α, den Winkel gegenüber der Seite a = 7

Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber — nur er kann stumpf sein. Ist er zuerst per Kosinussatz bestimmt, sind die übrigen Winkel spitz und der anschließende Sinussatz eindeutig.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Von der Standlinie AB = 117 m werden zu einem Punkt P am anderen Ufer die Winkel α = 89,2° (bei A) und β = 38,6° (bei B) gemessen. Berechne AP. (Auf Meter runden)

✓ Antwort: 92

γ = 180° − 89,2° − 38,6° = 52,2°. AP liegt dem Winkel β gegenüber, also AP/sin β = AB/sin γ und AP = 117·sin 38,6°/sin 52,2° ≈ 92 m.