Die Tangensfunktion

Erklärung: Der Tangens ist der Quotient aus Gegen- und Ankathete, am Einheitskreis tan x = sin x / cos x. Der vertauschte Quotient wäre der Kotangens.

Erklärung: tan 45° = sin 45° / cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1.

Erklärung: tan 0° = sin 0° / cos 0° = 0/1 = 0.

Erklärung: tan 60° = sin 60° / cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3 ≈ 1,732.

Erklärung: tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 ≈ 0,577.

Erklärung: tan x = 0 genau dort, wo sin x = 0, also bei x = k·180°. Bei 90° ist der Tangens dagegen nicht definiert (Polstelle, weil cos 90° = 0) — genau nicht eine Nullstelle.

Erklärung: Bei 90° ist cos x = 0, der Tangens also nicht definiert; der Graph wächst dort über alle Grenzen. Bei 0° und 180° hat er dagegen Nullstellen.

Erklärung: Richtig. Der Wertebereich der Tangensfunktion ist ganz ℝ — anders als Sinus und Kosinus nimmt der Tangens jeden reellen Wert an, hier für x = arctan 1000 ≈ 89,94°.

Erklärung: Richtig. Zwischen zwei Polstellen wächst der Tangens streng monoton, also gehört zum größeren Winkel der größere Tangenswert.

Erklärung: Für x → 90°⁻ ist sin x → 1 und cos x → 0 von positiven Werten, der Quotient tan x = sin x/cos x wächst also über alle Grenzen.

Erklärung: Für x → 90°⁺ ist sin x → 1, aber cos x → 0 von negativen Werten, der Quotient wird also stark negativ.

Erklärung: tan 135° = sin 135°/cos 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1, gleichwertig tan(180° − 45°) = −tan 45°.

Erklärung: Richtig. 225° = 45° + 180°, und wegen der Periode 180° gilt tan(x + 180°) = tan x.

Erklärung: tan(−45°) = sin(−45°)/cos(−45°) = (−√2/2)/(√2/2) = −1. Der Tangens ist eine ungerade Funktion.

Erklärung: tan α = Gegenkathete/Ankathete = 3/4 = 0,75.

Erklärung: Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels: m = tan 30° = 1/√3 ≈ 0,58.

Erklärung: α = arctan 0,12 ≈ 6,84° ≈ 6,8°. Die 12 % sind der Tangenswert, nicht der Winkel selbst.

Erklärung: h = Schatten · tan 40° = 25·0,8391 ≈ 21 m.