Die Tangensfunktion

The Tangent Function

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
TrigonometrieFunktionenTangensAsymptoten

Der Tangens ist das Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck und als Funktion tan x = sin x / cos x über ganz ℝ definiert: Nullstellen bei k · 180°, senkrechte Asymptoten bei 90° + k · 180° (dort ist cos x = 0), kleinste Periode 180°, Wertebereich ℝ. Zu trennen sind Nullstelle (sin x = 0) und Polstelle (cos x = 0) — die zentrale Verwechslung. Über tan α ist der Tangens zugleich die Geradensteigung m = tan α mit dem Steigungswinkel α.

Voraussetzungen (2)

Alles zusammen am Einheitskreis
Klasse 10
›
Sinus- und Kosinusfunktion
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Trigonometrische Gleichungen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welcher Ausdruck ist gleich tan 50°?

  • ● sin 50° / cos 50°
  • ○ cos 50° / sin 50°
  • ○ sin 50° · cos 50°
Der Tangens ist der Quotient aus Gegen- und Ankathete, am Einheitskreis tan x = sin x / cos x. Der vertauschte Quotient wäre der Kotangens.
Zahleneingabe #2 12s ▶ Testen

Berechne tan 45°.

✓ Antwort: 1
tan 45° = sin 45° / cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1.
Zahleneingabe #3 10s ▶ Testen

Berechne tan 0°.

✓ Antwort: 0
tan 0° = sin 0° / cos 0° = 0/1 = 0.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete zu α gleich 3 cm und die Ankathete 4 cm. Berechne tan α.

✓ Antwort: 0.75
tan α = Gegenkathete/Ankathete = 3/4 = 0,75.
Mittel
Lückentext #1 15s ▶ Testen

tan 60° = ___ (exakter Wert mit Wurzel).

✓ Antwort: √3
tan 60° = sin 60° / cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3 ≈ 1,732.
Zahleneingabe #2 18s ▶ Testen

Berechne tan 30° als Dezimalzahl. (Auf Tausendstel runden)

✓ Antwort: 0.577
tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 ≈ 0,577.
Multiple Choice #3 18s ▶ Testen

Welcher Winkel im Intervall [0°; 180°] ist eine Nullstelle der Tangensfunktion?

  • ● 180°
  • ○ 90°
  • ○ 45°
tan x = 0 genau dort, wo sin x = 0, also bei x = k·180°. Bei 90° ist der Tangens dagegen nicht definiert (Polstelle, weil cos 90° = 0) — genau nicht eine Nullstelle.
Multiple Choice #4 18s ▶ Testen

An welcher Stelle im Intervall [0°; 180°] hat der Graph der Tangensfunktion eine senkrechte Asymptote?

  • ● 90°
  • ○ 180°
  • ○ 0°
Bei 90° ist cos x = 0, der Tangens also nicht definiert; der Graph wächst dort über alle Grenzen. Bei 0° und 180° hat er dagegen Nullstellen.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Es gibt einen Winkel x mit tan x = 1000.

✓ Wahr
Richtig. Der Wertebereich der Tangensfunktion ist ganz ℝ — anders als Sinus und Kosinus nimmt der Tangens jeden reellen Wert an, hier für x = arctan 1000 ≈ 89,94°.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Im Intervall (0°; 90°) ist tan 50° größer als tan 40°.

✓ Wahr
Richtig. Zwischen zwei Polstellen wächst der Tangens streng monoton, also gehört zum größeren Winkel der größere Tangenswert.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wohin strebt tan x, wenn x von links gegen 90° geht?

  • ● tan x → +∞
  • ○ tan x → −∞
  • ○ tan x → 0
Für x → 90°⁻ ist sin x → 1 und cos x → 0 von positiven Werten, der Quotient tan x = sin x/cos x wächst also über alle Grenzen.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wohin strebt tan x, wenn x von rechts gegen 90° geht?

  • ● tan x → −∞
  • ○ tan x → +∞
  • ○ tan x → 0
Für x → 90°⁺ ist sin x → 1, aber cos x → 0 von negativen Werten, der Quotient wird also stark negativ.
Zahleneingabe #9 18s ▶ Testen

Berechne tan 135°.

✓ Antwort: -1
tan 135° = sin 135°/cos 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1, gleichwertig tan(180° − 45°) = −tan 45°.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

tan 225° = tan 45°

✓ Wahr
Richtig. 225° = 45° + 180°, und wegen der Periode 180° gilt tan(x + 180°) = tan x.
Zahleneingabe #11 15s ▶ Testen

tan(−45°) = ?

✓ Antwort: -1
tan(−45°) = sin(−45°)/cos(−45°) = (−√2/2)/(√2/2) = −1. Der Tangens ist eine ungerade Funktion.
Zahleneingabe #12 18s ▶ Testen

Eine Gerade steigt unter einem Winkel von 30° zur x-Achse. Welche Steigung m hat sie? (Auf Hundertstel)

✓ Antwort: 0.58
Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels: m = tan 30° = 1/√3 ≈ 0,58.
Multiple Choice #13 22s ▶ Testen

Eine Straße hat 12 % Steigung, das heißt tan α = 0,12. Welcher Steigungswinkel α gehört dazu?

  • ● α ≈ 6,8°
  • ○ α ≈ 12°
  • ○ α ≈ 7,2°
α = arctan 0,12 ≈ 6,84° ≈ 6,8°. Die 12 % sind der Tangenswert, nicht der Winkel selbst.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Turm wirft bei einem Sonnenstand von 40° einen Schatten von 25 m Länge. Wie hoch ist der Turm? (Auf Meter runden)

✓ Antwort: 21
h = Schatten · tan 40° = 25·0,8391 ≈ 21 m.