Trigonometrische Gleichungen

Erklärung: sin x = 0,5 für x = 30° (I. Quadrant) und x = 150° (II. Quadrant), denn sin(180° − x) = sin x. Genau zwei Lösungen.

Erklärung: Der Wertebereich von Sinus und Kosinus ist [−1; 1]. Wegen 2 > 1 ist sin x = 2 unlösbar, während tan x jeden reellen Wert annimmt.

Erklärung: cos 60° = 0,5, und im Intervall [0°; 90°] ist dies die einzige Lösung.

Erklärung: cos 60° = 0,5, und wegen cos(360° − x) = cos x auch cos 300° = 0,5. Die 120° stammen aus der Sinus-Regel 180° − x und passen hier nicht.

Erklärung: Der Referenzwinkel ist 30°. Negativ ist der Sinus im III. und IV. Quadranten: x = 180° + 30° = 210° und x = 360° − 30° = 330°.

Erklärung: sin(180° − x) = sin x, also sin 150° = sin 30° = 0,5. sin 210° ist negativ, und der Kosinus ist eine andere Funktion.

Erklärung: Beim Kosinus gilt cos(360° − x) = cos x, also x₂ = 360° − 66° = 294°. Die 114° wären die Sinus-Regel 180° − x₁ — hier der klassische Verwechslungsfehler.

Erklärung: sin x = 0 bei x = −360°, −180°, 0°, 180°, 360° — das sind 5 Lösungen.

Erklärung: tan 45° = 1, und wegen der Periode 180° ist auch tan(45° + 180°) = tan 225° = 1.

Erklärung: Richtig. Für jedes c mit −1 < c < 1 hat cos x = c genau zwei Lösungen in [0°; 360°), hier eine im II. und eine im III. Quadranten.

Erklärung: tan x = 0 bei x = 0° und x = 180°; 360° gehört nicht mehr zum halboffenen Intervall.

Erklärung: 2·sin x = 1, also sin x = 0,5; im Intervall [0°; 90°] ist x = 30°.

Erklärung: sin x = 1 nur bei x = 90° + k·360°. Im Intervall [0°; 720°] sind das x = 90° und x = 450°.

Erklärung: cos x = −3/5 = −0,6, also x = arccos(−0,6) ≈ 126,9°.

Erklärung: Wegen der Periode 360° hat sin x = 0,7 in jedem Umlauf zwei Lösungen, über ganz ℝ also unendlich viele.

Erklärung: tan(−45°) = −1, und im Grundbereich (−90°; 90°) ist dies die einzige Lösung.

Erklärung: 3·sin x = 4·cos x; Division durch cos x ≠ 0 ergibt 3·tan x = 4, also tan x = 4/3.

Erklärung: 3·sin t = 1,5, also sin t = 0,5; der kleinste positive Wert ist t = π/6 ≈ 0,52.