Trigonometrische Gleichungen

Trigonometric Equations

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
TrigonometrieGleichungenLösen

Eine Gleichung wie sin x = c hat ĂŒber einem Intervall in der Regel mehr als eine Lösung — die Taschenrechner-Anzeige liefert nur eine davon. Tragend sind die Symmetrien am Einheitskreis: sin(180°−x) = sin x liefert die zweite Sinuslösung, cos(360°−x) = cos x die zweite Kosinuslösung, die Periode 180° alle weiteren Tangenslösungen. Zwei Fehler liegen nah — die beiden Symmetrieregeln zu verwechseln (180°−x beim Sinus, 360°−x beim Kosinus) und die Lösungen außerhalb des Taschenrechner-Grundbereichs zu vergessen.

Voraussetzungen (2)

Die Tangensfunktion
Klasse 10
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Sinus- und Kosinusfunktion
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 18s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat sin x = 0,5 im Intervall [0°; 360°)?

  • ● 2
  • ○ 1
  • ○ 4
sin x = 0,5 fĂŒr x = 30° (I. Quadrant) und x = 150° (II. Quadrant), denn sin(180° − x) = sin x. Genau zwei Lösungen.
Multiple Choice #2 18s ▶ Testen

Welche Gleichung hat keine Lösung?

  • ● sin x = 2
  • ○ cos x = −1
  • ○ tan x = 100
Der Wertebereich von Sinus und Kosinus ist [−1; 1]. Wegen 2 > 1 ist sin x = 2 unlösbar, wĂ€hrend tan x jeden reellen Wert annimmt.
Zahleneingabe #3 12s ▶ Testen

Löse cos x = 0,5 im Intervall [0°; 90°]. x = ___ °

✓ Antwort: 60
cos 60° = 0,5, und im Intervall [0°; 90°] ist dies die einzige Lösung.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Löse tan x = 0 im Intervall [0°; 360°). Wie viele Lösungen gibt es?

✓ Antwort: 2
tan x = 0 bei x = 0° und x = 180°; 360° gehört nicht mehr zum halboffenen Intervall.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Löse 2 · sin x − 1 = 0 im Intervall [0°; 90°]. x = ___ °

✓ Antwort: 30
2·sin x = 1, also sin x = 0,5; im Intervall [0°; 90°] ist x = 30°.
Mittel
Multiple Choice #1 22s ▶ Testen

cos x = 0,5 hat im Intervall [0°; 360°) welche Lösungen?

  • ● x = 60° und x = 300°
  • ○ x = 60° und x = 120°
  • ○ x = 30° und x = 330°
cos 60° = 0,5, und wegen cos(360° − x) = cos x auch cos 300° = 0,5. Die 120° stammen aus der Sinus-Regel 180° − x und passen hier nicht.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

sin x = −0,5 hat im Intervall [0°; 360°) welche Lösungen?

  • ● x = 210° und x = 330°
  • ○ x = 150° und x = 210°
  • ○ x = 30° und x = 150°
Der Referenzwinkel ist 30°. Negativ ist der Sinus im III. und IV. Quadranten: x = 180° + 30° = 210° und x = 360° − 30° = 330°.
Multiple Choice #3 18s ▶ Testen

sin 150° hat denselben Wert wie welcher Sinus?

  • ● sin 30°
  • ○ sin 210°
  • ○ cos 30°
sin(180° − x) = sin x, also sin 150° = sin 30° = 0,5. sin 210° ist negativ, und der Kosinus ist eine andere Funktion.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

cos x = 0,4 liefert per Taschenrechner x₁ ≈ 66°. Wie lautet die zweite Lösung in [0°; 360°)?

  • ● x₂ ≈ 294°
  • ○ x₂ ≈ 114°
  • ○ x₂ ≈ 246°
Beim Kosinus gilt cos(360° − x) = cos x, also x₂ = 360° − 66° = 294°. Die 114° wĂ€ren die Sinus-Regel 180° − x₁ — hier der klassische Verwechslungsfehler.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat sin x = 0 im Intervall [−360°; 360°]?

✓ Antwort: 5
sin x = 0 bei x = −360°, −180°, 0°, 180°, 360° — das sind 5 Lösungen.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

tan x = 1 hat im Intervall [0°; 360°) welche Lösungen?

  • ● x = 45° und x = 225°
  • ○ x = 45° und x = 315°
  • ○ x = 45° und x = 135°
tan 45° = 1, und wegen der Periode 180° ist auch tan(45° + 180°) = tan 225° = 1.
Wahr / Falsch #7 18s ▶ Testen

Die Gleichung cos x = −0,3 hat im Intervall [0°; 360°) genau zwei Lösungen.

✓ Wahr
Richtig. FĂŒr jedes c mit −1 < c < 1 hat cos x = c genau zwei Lösungen in [0°; 360°), hier eine im II. und eine im III. Quadranten.
Multiple Choice #8 22s ▶ Testen

sin x = 1 hat im Intervall [0°; 720°] welche Lösungen?

  • ● x = 90° und x = 450°
  • ○ x = 90° und x = 270°
  • ○ nur x = 90°
sin x = 1 nur bei x = 90° + k·360°. Im Intervall [0°; 720°] sind das x = 90° und x = 450°.
Zahleneingabe #9 25s ▶ Testen

Löse 5 · cos x + 3 = 0 im Intervall [0°; 180°]. (Auf Zehntel Grad)

✓ Antwort: 126.9
cos x = −3/5 = −0,6, also x = arccos(−0,6) ≈ 126,9°.
Multiple Choice #10 18s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat sin x = 0,7 fĂŒr x ∈ ℝ?

  • ● Unendlich viele
  • ○ Genau zwei
  • ○ Keine
Wegen der Periode 360° hat sin x = 0,7 in jedem Umlauf zwei Lösungen, ĂŒber ganz ℝ also unendlich viele.
Zahleneingabe #11 18s ▶ Testen

Löse tan x = −1 im Intervall (−90°; 90°). x = ___ °

✓ Antwort: -45
tan(−45°) = −1, und im Grundbereich (−90°; 90°) ist dies die einzige Lösung.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Gleichung 3 · sin x − 4 · cos x = 0 lĂ€sst sich umformen zu:

  • ● tan x = 4/3
  • ○ tan x = 3/4
  • ○ sin x = 4/3
3·sin x = 4·cos x; Division durch cos x ≠ 0 ergibt 3·tan x = 4, also tan x = 4/3.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Lichtsignal wird durch u(t) = 3 · sin t beschrieben (t im Bogenmaß). FĂŒr welchen kleinsten positiven t gilt u(t) = 1,5? (Auf Hundertstel)

✓ Antwort: 0.52
3·sin t = 1,5, also sin t = 0,5; der kleinste positive Wert ist t = π/6 ≈ 0,52.