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Negative Winkel und Periodizität

23 Aufgaben · interaktiv

sin(−30°) = −sin 30°.

Erklärung: Der Sinus ist ungerade. Der Punkt zu −30° ist der an der x-Achse gespiegelte Punkt zu 30°, die y-Koordinate kehrt sich um.

cos(−30°) = −cos 30°.

Erklärung: Der Kosinus ist gerade: cos(−α) = cos α. Beim Spiegeln an der x-Achse bleibt die x-Koordinate gleich, also cos(−30°) = cos 30°.

cos(−60°) = cos 60°.

Erklärung: Der Kosinus ist gerade — die x-Koordinate ändert sich beim Wechsel zu −α nicht.

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu 405° äquivalent?

Erklärung: 405° − 360° = 45°. Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 360°.

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −30° äquivalent?

Erklärung: −30° + 360° = 330°. Man dreht vom Nullpunkt aus 30° im Uhrzeigersinn und landet bei 330°.

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu 750° äquivalent?

Erklärung: 750° − 2 · 360° = 750° − 720° = 30°. Es müssen zwei volle Umdrehungen abgezogen werden; 390° liegt noch außerhalb des Intervalls.

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −200° äquivalent?

Erklärung: −200° + 360° = 160°.

sin(−90°) = ?

Erklärung: sin(−90°) = −sin 90° = −1. Der Punkt zu −90° ist (0 | −1).

cos(−180°) = ?

Erklärung: cos(−180°) = cos 180° = −1 (Kosinus ist gerade). Der Punkt ist (−1 | 0).

Ermittle sin(−40°) mit der Figur (auf zwei Nachkommastellen). Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

Erklärung: sin(−40°) = −sin 40° ≈ −0,64. Der Punkt zu −40° ist der an der x-Achse gespiegelte Punkt zu 40°.

Ermittle cos(−220°) mit der Figur (auf zwei Nachkommastellen). Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

Erklärung: −220° entspricht 140° (−220° + 360°). cos 140° ≈ −0,77.

Ermittle sin 540° mit der Figur. Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

Erklärung: 540° = 180° + 360°, also sin 540° = sin 180° = 0.

Ermittle cos 630° mit der Figur. Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

Erklärung: 630° = 270° + 360°, also cos 630° = cos 270° = 0.

Welchen exakten Wert hat sin(−150°)?

Erklärung: sin(−150°) = −sin 150° = −0,5 = −1/2 (Sinus ist ungerade).

Welchen exakten Wert hat cos(−120°)?

Erklärung: cos(−120°) = cos 120° = −1/2 (Kosinus ist gerade). Die 1/2 entstünde durch einen falschen Vorzeichenwechsel.

sin 400° = sin 40°.

Erklärung: 400° = 40° + 360°, also derselbe Punkt am Einheitskreis und derselbe Sinuswert.

Welcher Winkel ist zu 45° koterminal (zeigt auf denselben Punkt am Einheitskreis)?

Erklärung: Koterminale Winkel unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 360°. 45° + 360° = 405° (auch −315° zeigt auf denselben Punkt). 315° und 135° liegen woanders.

sin 40° ≈ 0,64. Wie groß ist sin(−40°)?

Erklärung: Der Sinus ist ungerade: sin(−α) = −sin α, also sin(−40°) = −sin 40° ≈ −0,64. Die 0,64 behandelt den Sinus fälschlich als gerade (Vorzeichen vergessen); die −0,77 verwechselt sin 40° mit cos 40° ≈ 0,77.

Der Taschenrechner liefert für sin⁻¹(−0,5) den Wert −30°. Gesucht ist aber der Winkel zwischen 180° und 270° mit sin α = −0,5. Wie groß ist α (in Grad)?

Erklärung: −30° und 330° zeigen auf denselben Punkt. Der zweite Winkel mit demselben Sinuswert ist 180° + 30° = 210°. Der Rechnerwert ist ein Startpunkt, nicht die Antwort.

Berechne cos 400° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

Erklärung: 400° − 360° = 40°, also cos 400° = cos 40° ≈ 0,77. Volle Umdrehungen ändern nichts.

Zeichne einen Einheitskreis und trage den Punkt für −225° ein — also eine Drehung im Uhrzeigersinn. Gib den koterminalen Winkel zwischen 0° und 360° an, führe sin(−225°) auf einen Winkel im ersten Quadranten zurück und gib den exakten Wert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Zuerst 360° addieren, dann im gefundenen Quadranten zurückführen. Dass der Winkel negativ war, heißt nicht, dass der Sinus negativ ist — bei −225° landet P oberhalb der x-Achse.

Es ist sin 25° ≈ 0,42. Berechne sin(−25°) + sin 25°.

Erklärung: sin(−25°) = − sin 25° ≈ −0,42, also −0,42 + 0,42 = 0. Die beiden Punkte liegen spiegelbildlich zur x-Achse.

Ergänze den Winkel zwischen 0° und 360°, der auf denselben Punkt zeigt wie 495°: ___ °

Erklärung: 495° − 360° = 135°. Eine volle Umdrehung ändert den Punkt nicht.

Aufgabe 1 von 23