Negative Winkel und Periodizität

Negative Angles and Periodicity

Mathematik Klasse 10 23 Aufgaben

TrigonometrieEinheitskreisPeriodizität

Ein negativer Winkel bedeutet Drehung im Uhrzeigersinn, und nach 360° wiederholt sich alles — beides folgt unmittelbar aus der Koordinatendefinition am Einheitskreis. Der Sinus ist eine ungerade Funktion, sin(−α) = −sin α, der Kosinus eine gerade, cos(−α) = cos α; die verbreitete Fehlvorstellung, auch der Kosinus wechsle bei −α das Vorzeichen, scheitert daran, dass die x-Koordinate beim Spiegeln an der x-Achse gleich bleibt. Jeder beliebige Winkel lässt sich so auf einen Vertreter in einem Grundintervall zurückführen — die Grundlage für die Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion.

Negative Winkel — Spiegelung an der x-Achse

Alle Winkel bisher lagen zwischen 0° und 360°, gedreht gegen den Uhrzeigersinn. Zum Spiegelpunkt an der x-Achse, beim Winkel $360° - α$ , braucht man so fast eine volle Umdrehung. Kürzer geht es andersherum: im Uhrzeigersinn um α. Drehungen im Uhrzeigersinn zählen als negative Winkel. Der Punkt zu $- α$ ist also der an der x-Achse gespiegelte Punkt: Die x-Koordinate bleibt gleich, die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen.

$cos (- α) = cos α$
$sin (- α) = - sin α$

Periodizität — alle $360°$ kehrt alles wieder

Die Winkel $- α$ und $360° - α$ treffen denselben Punkt, weil sie sich um eine volle Umdrehung unterscheiden. Nach einer vollen Umdrehung $(360°)$ ist man immer wieder am selben Punkt. Die Koordinaten von P wiederholen sich — und damit auch die Werte von $cos$ und $sin$ :

$cos (α + 360°) sin (α + 360°) = cos α = sin α$

Winkel, die sich um ganzzahlige Vielfache von $360°$ unterscheiden, liefern also dieselben Kosinus- und Sinuswerte. Solche Winkel heißen koterminal: $30°$ und $30° + 360° = 390°$ zeigen auf denselben Punkt.

Stelle α auf

- 45°

und dann auf 315°: Zeigen die Chips cos α und sin α dasselbe? Wo liegt P bei 30°, 390° und

- 330°

Voraussetzungen (1)

Sinus und Kosinus als Koordinaten

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Alles zusammen am Einheitskreis

Klasse 10

›

Leicht

Wahr / Falsch #1 10s ▶ Testen

sin(−30°) = −sin 30°.

✓ Wahr

Der Sinus ist ungerade. Der Punkt zu −30° ist der an der x-Achse gespiegelte Punkt zu 30°, die y-Koordinate kehrt sich um.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

cos(−30°) = −cos 30°.

✓ Falsch

Der Kosinus ist gerade: cos(−α) = cos α. Beim Spiegeln an der x-Achse bleibt die x-Koordinate gleich, also cos(−30°) = cos 30°.

Wahr / Falsch #3 10s ▶ Testen

cos(−60°) = cos 60°.

✓ Wahr

Der Kosinus ist gerade — die x-Koordinate ändert sich beim Wechsel zu −α nicht.

Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu 405° äquivalent?

● 45°
○ 135°
○ 225°

405° − 360° = 45°. Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 360°.

Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −30° äquivalent?

● 330°
○ 30°
○ 210°

−30° + 360° = 330°. Man dreht vom Nullpunkt aus 30° im Uhrzeigersinn und landet bei 330°.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu 750° äquivalent?

● 30°
○ 390°
○ 90°

750° − 2 · 360° = 750° − 720° = 30°. Es müssen zwei volle Umdrehungen abgezogen werden; 390° liegt noch außerhalb des Intervalls.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Winkel in [0°; 360°) ist zu −200° äquivalent?

● 160°
○ 200°
○ 340°

−200° + 360° = 160°.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin(−150°)?

● −1/2
○ 1/2
○ −√3/2

sin(−150°) = −sin 150° = −0,5 = −1/2 (Sinus ist ungerade).

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos(−120°)?

● −1/2
○ 1/2
○ √3/2

cos(−120°) = cos 120° = −1/2 (Kosinus ist gerade). Die 1/2 entstünde durch einen falschen Vorzeichenwechsel.

Wahr / Falsch #10 10s ▶ Testen

sin 400° = sin 40°.

✓ Wahr

400° = 40° + 360°, also derselbe Punkt am Einheitskreis und derselbe Sinuswert.

Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Welcher Winkel ist zu 45° koterminal (zeigt auf denselben Punkt am Einheitskreis)?

● 405°
○ 315°
○ 135°

Koterminale Winkel unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 360°. 45° + 360° = 405° (auch −315° zeigt auf denselben Punkt). 315° und 135° liegen woanders.

Multiple Choice #12 15s ▶ Testen

sin 40° ≈ 0,64. Wie groß ist sin(−40°)?

● −0,64
○ 0,64
○ −0,77

Der Sinus ist ungerade: sin(−α) = −sin α, also sin(−40°) = −sin 40° ≈ −0,64. Die 0,64 behandelt den Sinus fälschlich als gerade (Vorzeichen vergessen); die −0,77 verwechselt sin 40° mit cos 40° ≈ 0,77.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

sin(−90°) = ?

✓ Antwort: -1

sin(−90°) = −sin 90° = −1. Der Punkt zu −90° ist (0 | −1).

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

cos(−180°) = ?

✓ Antwort: -1

cos(−180°) = cos 180° = −1 (Kosinus ist gerade). Der Punkt ist (−1 | 0).

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Ermittle sin(−40°) mit der Figur (auf zwei Nachkommastellen). Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

✓ Antwort: -0.64

sin(−40°) = −sin 40° ≈ −0,64. Der Punkt zu −40° ist der an der x-Achse gespiegelte Punkt zu 40°.

Lückentext #4 25s ▶ Testen

Ergänze den Winkel zwischen 0° und 360°, der auf denselben Punkt zeigt wie 495°: ___ °

✓ Antwort: 135

495° − 360° = 135°. Eine volle Umdrehung ändert den Punkt nicht.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ermittle cos(−220°) mit der Figur (auf zwei Nachkommastellen). Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

✓ Antwort: -0.77

−220° entspricht 140° (−220° + 360°). cos 140° ≈ −0,77.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Ermittle sin 540° mit der Figur. Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

✓ Antwort: 0

540° = 180° + 360°, also sin 540° = sin 180° = 0.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Ermittle cos 630° mit der Figur. Der Schieber reicht nur von 0° bis 360°.

✓ Antwort: 0

630° = 270° + 360°, also cos 630° = cos 270° = 0.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Der Taschenrechner liefert für sin⁻¹(−0,5) den Wert −30°. Gesucht ist aber der Winkel zwischen 180° und 270° mit sin α = −0,5. Wie groß ist α (in Grad)?

✓ Antwort: 210

−30° und 330° zeigen auf denselben Punkt. Der zweite Winkel mit demselben Sinuswert ist 180° + 30° = 210°. Der Rechnerwert ist ein Startpunkt, nicht die Antwort.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne cos 400° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.77

400° − 360° = 40°, also cos 400° = cos 40° ≈ 0,77. Volle Umdrehungen ändern nichts.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Zeichne einen Einheitskreis und trage den Punkt für −225° ein — also eine Drehung im Uhrzeigersinn. Gib den koterminalen Winkel zwischen 0° und 360° an, führe sin(−225°) auf einen Winkel im ersten Quadranten zurück und gib den exakten Wert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: −225° + 360° = 135°, also liegt P im II. Quadranten. sin(−225°) = sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = √2/2 ≈ 0,71 — der Wert ist positiv.

Zuerst 360° addieren, dann im gefundenen Quadranten zurückführen. Dass der Winkel negativ war, heißt nicht, dass der Sinus negativ ist — bei −225° landet P oberhalb der x-Achse.

Zahleneingabe #7 35s ▶ Testen

Es ist sin 25° ≈ 0,42. Berechne sin(−25°) + sin 25°.

✓ Antwort: 0

sin(−25°) = − sin 25° ≈ −0,42, also −0,42 + 0,42 = 0. Die beiden Punkte liegen spiegelbildlich zur x-Achse.

Negative Winkel — Spiegelung an der x-Achse

Periodizität — alle 360° kehrt alles wieder

Voraussetzungen (1)

Ermöglicht (1)

Periodizität — alle $360°$ kehrt alles wieder