Ein Punkt auf dem Einheitskreis
Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?
Erklärung: Ein Punkt liegt genau dann auf dem Einheitskreis, wenn x² + y² = 1 gilt. 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Die anderen Paare ergeben 1,17 bzw. 1,13.
Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?
Erklärung: 0,8² + (−0,6)² = 0,64 + 0,36 = 1 — das Vorzeichen ändert am Quadrat nichts. Die anderen Paare ergeben 1,28 bzw. 1,06.
Der Punkt (0,5 | 0,5) liegt auf dem Einheitskreis.
Erklärung: 0,5² + 0,5² = 0,25 + 0,25 = 0,5 ≠1. Beträge unter 1 genügen nicht — es zählt x² + y² = 1, nicht bloß „beide Koordinaten kleiner als 1".
Der Punkt (0 | 1) liegt auf dem Einheitskreis.
Erklärung: 0² + 1² = 1 — der Punkt liegt auf der positiven y-Achse, genau am Kreis.
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 90°?
Erklärung: Bei 90° liegt P auf der positiven y-Achse, also bei (0 | 1).
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 0°?
Erklärung: Bei 0° startet P auf der positiven x-Achse bei (1 | 0). Der Ursprung (0 | 0) liegt nicht auf dem Kreis.
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 180°?
Erklärung: Bei 180° liegt P auf der negativen x-Achse, also bei (−1 | 0).
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 270°?
Erklärung: Bei 270° liegt P auf der negativen y-Achse, also bei (0 | −1).
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 45°?
Erklärung: Bei 45° sind x und y gleich groß, und x² + y² = 1 muss aufgehen: 0,71² + 0,71² ≈ 0,50 + 0,50 = 1. (1 | 1) läge außerhalb (1 + 1 = 2), (0,5 | 0,5) innerhalb des Kreises (0,25 + 0,25 = 0,5).
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 360°?
Erklärung: Nach einer vollen Umdrehung ist P wieder am Start, bei (1 | 0) wie bei 0°.
Stelle in der Figur α = 25° ein. Lies die x-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Die x-Koordinate von P bei 25° ist ≈ 0,91 — das ist zugleich cos 25°.
Stelle in der Figur α = 70° ein. Lies die y-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Die y-Koordinate von P bei 70° ist ≈ 0,94 — P liegt fast ganz oben.
Für welchen Winkel liegt P bei (−1 | 0)?
Erklärung: P(−1 | 0) liegt auf der negativen x-Achse — das ist der Winkel 180°.
Für welchen Winkel liegt P bei (0 | −1)?
Erklärung: P(0 | −1) liegt auf der negativen y-Achse — das ist der Winkel 270°.
Stelle in der Figur α = 210° ein. Lies die y-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Bei 210° liegt P links unten, unterhalb der x-Achse, die y-Koordinate ist −0,5.
Stelle in der Figur α = 315° ein. Lies die x-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Bei 315° liegt P rechts unten, rechts der y-Achse, die x-Koordinate ist ≈ 0,71.
Bei α = 180° hat der Punkt P die Koordinaten: (___ | 0)
Erklärung: Nach einer halben Umdrehung liegt P ganz links auf dem Kreis, bei (−1 | 0).
Der Punkt P hat die Koordinaten (0,5 | −0,87). Für welchen Winkel α zwischen 0° und 360° ist das der Punkt auf dem Einheitskreis (in Grad)?
Erklärung: x ist positiv und y negativ, also liegt P rechts unten, zwischen 270° und 360°. Zu 0,5 und −0,87 gehört α = 300°.
Zeichne einen Einheitskreis mit x- und y-Achse. Trage den Punkt P
für α = 210° ein, markiere den Winkel α an der positiven x-Achse und
schreibe die beiden Koordinaten von P mit ihrem Vorzeichen daneben.
Schreibe deine Lösung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: 210° = 180° + 30°, also liegt P 30° weiter als (−1 | 0), unterhalb der x-Achse und links der y-Achse — dort sind beide Koordinaten negativ.
Für jeden Punkt P(x | y) auf dem Einheitskreis gilt: x² + y² = ___
Erklärung: x² + y² = 1 — das ist der Satz des Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse 1, also mit dem Radius des Einheitskreises.
Der Punkt P(0,6 | y) liegt auf dem Einheitskreis, und zwar oberhalb der x-Achse. Berechne y.
Erklärung: Aus 0,6² + y² = 1 folgt y² = 1 − 0,36 = 0,64, also y = 0,8 (positiv, weil P oberhalb der x-Achse liegt).
Bei α = 0° hat P die Koordinaten: (1 | ___)
Erklärung: P(1 | 0) — der Punkt startet auf der positiven x-Achse, also ist sin 0° = 0 und cos 0° = 1.
Ein Zeiger der Länge 6 cm zeigt bei α = 0° waagrecht nach rechts. Wie hoch über der x-Achse liegt seine Spitze (in cm)?
Erklärung: Die Höhe ist 6 cm · sin 0° = 6 cm · 0 = 0 cm. Der Zeiger liegt genau auf der x-Achse.
P wandert von 0° bis 90°. Wie groß ist dort seine y-Koordinate?
Erklärung: Bei 90° steht P ganz oben bei (0 | 1) — die y-Koordinate ist 1, also sin 90° = 1.
Ein Kreis um den Ursprung hat den Radius 4 cm. Wie weit über dem Mittelpunkt liegt der Punkt bei α = 90° (in cm)?
Erklärung: 4 cm · sin 90° = 4 cm · 1 = 4 cm. Der Punkt liegt senkrecht über dem Mittelpunkt.
Berechne 5 · cos 180° (mit Vorzeichen).
Erklärung: cos 180° = −1, also 5 · (−1) = −5. Bei 180° steht P bei (−1 | 0).
Bei α = 270° zeigt P senkrecht nach unten. Koordinaten: (0 | ___)
Erklärung: P(0 | −1) — die y-Koordinate ist −1, also sin 270° = −1 und cos 270° = 0.
Berechne sin 270° + 1.
Erklärung: sin 270° = −1, also −1 + 1 = 0.
Nach einer vollen Umdrehung (α = 360°) — wie groß ist die x-Koordinate von P?
Erklärung: P steht wieder bei (1 | 0), also cos 360° = 1. Eine volle Umdrehung führt zum Startpunkt zurück.
Berechne cos 360° − cos 0°.
Erklärung: Beide sind 1, weil 360° und 0° denselben Punkt treffen — 1 − 1 = 0.