Ein Punkt auf dem Einheitskreis
A Point on the Unit Circle
Zu einem Winkel α gehört genau ein Punkt P auf dem Einheitskreis (Radius 1 um den Ursprung); umgekehrt liegt ein Zahlenpaar (x, y) genau dann auf dem Kreis, wenn x² + y² = 1 gilt — (0,6; 0,8) liegt darauf, (0,6; 0,6) nicht. Das ist die geometrische Bühne, auf der Sinus und Kosinus als Koordinaten von P definiert werden: der Übergang vom Seitenverhältnis im Dreieck zur Punktdarstellung, der das Rechnen mit Winkeln über 90° erst möglich macht (Weber 2005: die Koordinatensicht als Voraussetzung der Fortsetzung). Räumt die Fehlvorstellung aus, jedes Paar mit Beträgen unter 1 liege auf dem Einheitskreis.
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Jeder Punkt
Umgekehrt liegt jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, auf dem Kreis.
Ein Punkt P bewegt sich auf diesem Kreis. Seine Position
wird durch den
Ganz oben liegt P bei 90°, auf
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?
Welcher Punkt liegt auf dem Einheitskreis?
Der Punkt (0,5 | 0,5) liegt auf dem Einheitskreis.
Der Punkt (0 | 1) liegt auf dem Einheitskreis.
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 90°?
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 0°?
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 180°?
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 270°?
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 45°?
Wo liegt der Punkt P auf dem Einheitskreis bei α = 360°?
Für welchen Winkel liegt P bei (−1 | 0)?
Für welchen Winkel liegt P bei (0 | −1)?
Stelle in der Figur α = 25° ein. Lies die x-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Stelle in der Figur α = 70° ein. Lies die y-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Stelle in der Figur α = 210° ein. Lies die y-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Stelle in der Figur α = 315° ein. Lies die x-Koordinate von P ab (auf zwei Nachkommastellen).
Bei α = 180° hat der Punkt P die Koordinaten: (___ | 0)
Für jeden Punkt P(x | y) auf dem Einheitskreis gilt: x² + y² = ___
Bei α = 0° hat P die Koordinaten: (1 | ___)
P wandert von 0° bis 90°. Wie groß ist dort seine y-Koordinate?
Bei α = 270° zeigt P senkrecht nach unten. Koordinaten: (0 | ___)
Nach einer vollen Umdrehung (α = 360°) — wie groß ist die x-Koordinate von P?
Der Punkt P hat die Koordinaten (0,5 | −0,87). Für welchen Winkel α zwischen 0° und 360° ist das der Punkt auf dem Einheitskreis (in Grad)?
Zeichne einen Einheitskreis mit x- und y-Achse. Trage den Punkt P für α = 210° ein, markiere den Winkel α an der positiven x-Achse und schreibe die beiden Koordinaten von P mit ihrem Vorzeichen daneben. Schreibe deine Lösung auf Papier und fotografiere sie.
Der Punkt P(0,6 | y) liegt auf dem Einheitskreis, und zwar oberhalb der x-Achse. Berechne y.
Ein Zeiger der Länge 6 cm zeigt bei α = 0° waagrecht nach rechts. Wie hoch über der x-Achse liegt seine Spitze (in cm)?
Ein Kreis um den Ursprung hat den Radius 4 cm. Wie weit über dem Mittelpunkt liegt der Punkt bei α = 90° (in cm)?
Berechne 5 · cos 180° (mit Vorzeichen).
Berechne cos 360° − cos 0°.