Der trigonometrische Pythagoras
Für alle Winkel α gilt: sin²α + cos²α = ___
Erklärung: Der trigonometrische Pythagoras: Am Einheitskreis gilt x² + y² = 1, also sin²α + cos²α = 1.
Ein Punkt P(0,8 | 0,6) liegt auf dem Einheitskreis. Berechne sin²α + cos²α.
Erklärung: sin²α + cos²α = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 — der trigonometrische Pythagoras am konkreten Punkt.
sin α = 0,6 und α liegt im I. Quadranten. Wie groß ist cos α?
Erklärung: Aus sin²α + cos²α = 1 folgt cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, also cos α = 0,8. Die 0,4 entsteht, wenn man 1 − 0,6 statt 1 − 0,6² rechnet.
cos α = 0,8 und α liegt im IV. Quadranten. Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin²α = 1 − 0,64 = 0,36, also |sin α| = 0,6. Im IV. Quadranten ist sin α negativ, also −0,6. Die 0,6 vergisst das Vorzeichen.
sin α = 0,28 und α liegt im II. Quadranten. Wie groß ist cos α?
Erklärung: cos²α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216, also |cos α| = 0,96. Im II. Quadranten ist cos negativ, also −0,96.
cos α = −0,6 und α liegt im III. Quadranten. Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, also |sin α| = 0,8. Im III. Quadranten ist sin negativ, also −0,8.
sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Wie groß ist tan α?
Erklärung: tan α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75.
Welches Wertepaar (sin α | cos α) ist möglich?
Erklärung: Nur wenn sin²α + cos²α = 1 gilt, ist das Paar möglich. 0,6² + 0,8² = 1; die anderen ergeben 1,17 bzw. 0,74.
Es gibt einen Winkel α mit sin α = 0,6 und cos α = 0,9.
Erklärung: 0,6² + 0,9² = 0,36 + 0,81 = 1,17 ≠1. sin und cos sind nicht unabhängig wählbar — ein solches Paar kann es nicht geben.
Für α = 45° gilt tan 45° = ?
Erklärung: tan 45° = sin 45° / cos 45° = (√2/2) / (√2/2) = 1.
Bei α = 90° ist sin α = 1 und cos α = 0. Berechne sin²α + cos²α.
Erklärung: 1² + 0² = 1 — die Identität gilt auch an den Achsen.
Wenn sin α = 1, dann ist cos α = 0.
Erklärung: Aus sin²α + cos²α = 1 mit sin α = 1 folgt cos²α = 0, also cos α = 0. Das ist der Punkt (0 | 1).
Für welchen Punkt P auf dem Einheitskreis ist tan α = 0?
Erklärung: tan α = sin α / cos α = y / x. Bei (1 | 0) ist y = 0, also tan α = 0. Bei (0 | 1) wäre der Nenner 0 und tan α nicht definiert.
Der Punkt P zu α ist (0,8 | 0,6). Wie groß ist tan α?
Erklärung: tan α = sin α / cos α = y / x = 0,6 / 0,8 = 0,75. Die 1,33 entsteht, wenn man x / y statt y / x rechnet (Quotient vertauscht); die 0,48 multipliziert y · x statt zu dividieren.
Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass
sin²(30°) + cos²(30°) = 1.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: sin(30°) = 1/2 und cos(30°) = √3/2. Quadrieren und addieren ergibt 1/4 + 3/4 = 1 — also gilt der trigonometrische Pythagoras für diesen speziellen Winkel.
Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass
sin²(45°) + cos²(45°) = 1.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: sin(45°) = cos(45°) = √2/2. Quadrieren und addieren ergibt 1/2 + 1/2 = 1 — die beiden Quadrate sind gleich, das ist der schöne Sonderfall am Einheitskreis.
Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass
sin²(60°) + cos²(60°) = 1.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: sin(60°) = √3/2 und cos(60°) = 1/2. Quadrieren und addieren ergibt 3/4 + 1/4 = 1 — also gilt der trigonometrische Pythagoras für diesen speziellen Winkel.
sin α = 0,8 und α liegt im I. Quadranten. Berechne cos α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: cos²α = 1 − 0,8² = 1 − 0,64 = 0,36, also cos α = 0,6. Im I. Quadranten ist der Kosinus positiv.
sin α = 0,8 und α liegt im II. Quadranten. Berechne cos α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Der Betrag ist derselbe wie im I. Quadranten, nämlich 0,6 — aber im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also cos α = −0,6.
sin α = −0,6 und cos α = 0,8. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: tan α = sin α / cos α = −0,6 / 0,8 = −0,75. Der Punkt liegt im IV. Quadranten, dort ist der Tangens negativ.