Der trigonometrische Pythagoras

The Pythagorean Identity

Mathematik Klasse 10 20 Aufgaben

TrigonometrieEinheitskreisTrigonometrischer Pythagoras

Aus x² + y² = 1 für den Punkt auf dem Einheitskreis folgt unmittelbar sin²α + cos²α = 1 — der Satz des Pythagoras, angewandt auf die Koordinaten. Mit dieser Identität lässt sich bei bekanntem sin (oder cos) und Quadrant der fehlende Wert samt Vorzeichen bestimmen. Sin und cos sind also gerade nicht unabhängig voneinander wählbar — ein Paar wie (0,6 | 0,9) kann es nicht geben, weil 0,36 + 0,81 > 1. Der Tangens ist der Quotient sin/cos. Das bindet die ganze Einheit an den Satz des Pythagoras zurück.

Spiegeln und negative Winkel kippen die Vorzeichen von cos α und sin α. Im rechtwinkligen Dreieck hast du $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ aus dem Satz des Pythagoras bekommen — für spitze Winkel, mit lauter positiven Seiten. Gilt die Gleichung auch mit negativen Koordinaten? Am Einheitskreis ist die Strecke $O P$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Hypotenuse hat die Länge $1$ (der Radius). Die Katheten sind $cos α$ und $sin α$ .

Der Satz des Pythagoras liefert:

$cos^{2} α + sin^{2} α = 1$

Schreibweise: Wie im Dreieck ist $cos^{2} α$ die Kurzform für $(cos α)^{2}$ — also „der Kosinus von α, quadriert“. Genauso $sin^{2} α = (sin α)^{2}$ . Die hochgestellte $2$ gehört zum Wert, nicht zum Winkel.

Verändere α mit dem Schieberegler. Zieh α über 90° hinaus: Bleibt die Anzeige sin²α + cos²α bei 1?

Bei 120° ist $cos 120° = - 0, 5$ , die waagerechte Kathete ist aber 0,5 lang — eine Länge ist nie negativ. Im Quadrat macht das keinen Unterschied: $(- 0, 5)^{2} = 0, 25 = 0, 5^{2}$ . Mit $sin 120° \approx 0, 866$ ergibt sich $0, 25 + 0, 75 = 1$ , und die Anzeige bleibt bei 1, wohin du α auch ziehst. Diese Gleichung heißt trigonometrischer Pythagoras und gilt für alle Winkel $α$ — nicht nur für spitze Winkel.

Den Tangens liefert diese Gleichung nicht — er kommt wieder aus dem Dreieck: Gegenkathete durch Ankathete ist $y$ durch $x$ . Am Einheitskreis gilt deshalb für jeden Winkel

$tan α = \frac{sin α}{cos α} (cos α \neq = 0)$

Das ist die Länge des Abschnitts auf der Tangente bei $x = 1$ , denn die beiden Dreiecke sind ähnlich. Bei 90° und 270° ist $cos α = 0$ ; die Gerade $O P$ läuft dann parallel zur Tangente, und einen Tangens gibt es dort nicht.

Voraussetzungen (1)

Sinus und Kosinus als Koordinaten

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Alles zusammen am Einheitskreis

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

sin α = 0,6 und α liegt im I. Quadranten. Wie groß ist cos α?

● 0,8
○ 0,4
○ 0,6

Aus sin²α + cos²α = 1 folgt cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, also cos α = 0,8. Die 0,4 entsteht, wenn man 1 − 0,6 statt 1 − 0,6² rechnet.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

cos α = 0,8 und α liegt im IV. Quadranten. Wie groß ist sin α?

● −0,6
○ 0,6
○ −0,2

sin²α = 1 − 0,64 = 0,36, also |sin α| = 0,6. Im IV. Quadranten ist sin α negativ, also −0,6. Die 0,6 vergisst das Vorzeichen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

sin α = 0,28 und α liegt im II. Quadranten. Wie groß ist cos α?

● −0,96
○ 0,96
○ −0,72

cos²α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216, also |cos α| = 0,96. Im II. Quadranten ist cos negativ, also −0,96.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

cos α = −0,6 und α liegt im III. Quadranten. Wie groß ist sin α?

● −0,8
○ 0,8
○ −0,4

sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, also |sin α| = 0,8. Im III. Quadranten ist sin negativ, also −0,8.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welches Wertepaar (sin α | cos α) ist möglich?

● (0,6 | 0,8)
○ (0,6 | 0,9)
○ (0,5 | 0,7)

Nur wenn sin²α + cos²α = 1 gilt, ist das Paar möglich. 0,6² + 0,8² = 1; die anderen ergeben 1,17 bzw. 0,74.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Es gibt einen Winkel α mit sin α = 0,6 und cos α = 0,9.

✓ Falsch

0,6² + 0,9² = 0,36 + 0,81 = 1,17 ≠ 1. sin und cos sind nicht unabhängig wählbar — ein solches Paar kann es nicht geben.

Multiple Choice #7 15s ▶ Testen

Für α = 45° gilt tan 45° = ?

● 1
○ 0
○ √2/2

tan 45° = sin 45° / cos 45° = (√2/2) / (√2/2) = 1.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Wenn sin α = 1, dann ist cos α = 0.

✓ Wahr

Aus sin²α + cos²α = 1 mit sin α = 1 folgt cos²α = 0, also cos α = 0. Das ist der Punkt (0 | 1).

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Für welchen Punkt P auf dem Einheitskreis ist tan α = 0?

● (1 | 0)
○ (0 | 1)
○ (√2/2 | √2/2)

tan α = sin α / cos α = y / x. Bei (1 | 0) ist y = 0, also tan α = 0. Bei (0 | 1) wäre der Nenner 0 und tan α nicht definiert.

Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α ist (0,8 | 0,6). Wie groß ist tan α?

● 0,75
○ 1,33
○ 0,48

tan α = sin α / cos α = y / x = 0,6 / 0,8 = 0,75. Die 1,33 entsteht, wenn man x / y statt y / x rechnet (Quotient vertauscht); die 0,48 multipliziert y · x statt zu dividieren.

Mittel

Lückentext #1 10s ▶ Testen

Für alle Winkel α gilt: sin²α + cos²α = ___

✓ Antwort: 1

Der trigonometrische Pythagoras: Am Einheitskreis gilt x² + y² = 1, also sin²α + cos²α = 1.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Ein Punkt P(0,8 | 0,6) liegt auf dem Einheitskreis. Berechne sin²α + cos²α.

✓ Antwort: 1

sin²α + cos²α = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 — der trigonometrische Pythagoras am konkreten Punkt.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Wie groß ist tan α?

✓ Antwort: 0.75

tan α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Bei α = 90° ist sin α = 1 und cos α = 0. Berechne sin²α + cos²α.

✓ Antwort: 1

1² + 0² = 1 — die Identität gilt auch an den Achsen.

Schwer

KI-bewertete Rechnung #1 180s ▶ Testen

Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass sin²(30°) + cos²(30°) = 1. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, also (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1

sin(30°) = 1/2 und cos(30°) = √3/2. Quadrieren und addieren ergibt 1/4 + 3/4 = 1 — also gilt der trigonometrische Pythagoras für diesen speziellen Winkel.

KI-bewertete Rechnung #2 180s ▶ Testen

Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass sin²(45°) + cos²(45°) = 1. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, also (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1

sin(45°) = cos(45°) = √2/2. Quadrieren und addieren ergibt 1/2 + 1/2 = 1 — die beiden Quadrate sind gleich, das ist der schöne Sonderfall am Einheitskreis.

KI-bewertete Rechnung #3 180s ▶ Testen

Bestätige mit dem trigonometrischen Pythagoras, dass sin²(60°) + cos²(60°) = 1. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, also (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1

sin(60°) = √3/2 und cos(60°) = 1/2. Quadrieren und addieren ergibt 3/4 + 1/4 = 1 — also gilt der trigonometrische Pythagoras für diesen speziellen Winkel.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

sin α = 0,8 und α liegt im I. Quadranten. Berechne cos α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.6

cos²α = 1 − 0,8² = 1 − 0,64 = 0,36, also cos α = 0,6. Im I. Quadranten ist der Kosinus positiv.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

sin α = 0,8 und α liegt im II. Quadranten. Berechne cos α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.6

Der Betrag ist derselbe wie im I. Quadranten, nämlich 0,6 — aber im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also cos α = −0,6.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

sin α = −0,6 und cos α = 0,8. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.75

tan α = sin α / cos α = −0,6 / 0,8 = −0,75. Der Punkt liegt im IV. Quadranten, dort ist der Tangens negativ.