Sinus und Kosinus als Koordinaten
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin α ist die y-Koordinate von P, also 0,6. Die 0,8 ist die x-Koordinate (cos α), die 1 der Radius.
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Wie groß ist cos α?
Erklärung: cos α ist die x-Koordinate von P, also 0,8. Die 0,6 ist die y-Koordinate (sin α).
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,28 | 0,96). Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin α ist die y-Koordinate — hier 0,96. Der Punkt liegt links oben, die y-Koordinate bleibt positiv.
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | −0,8). Wie groß ist cos α?
Erklärung: cos α ist die x-Koordinate mit Vorzeichen, also −0,6. Die −0,8 ist die y-Koordinate (sin α); der Betrag 0,6 vergisst das Vorzeichen.
Stelle in der Figur α = 10° ein. Lies cos 10° ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: cos 10° ≈ 0,98 — die x-Koordinate von P liegt knapp unter 1.
Stelle in der Figur α = 50° ein. Lies sin 50° ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: sin 50° ≈ 0,77 — die y-Koordinate von P.
Stelle in der Figur α = 130° ein. Lies sin 130° ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: sin 130° ≈ 0,77 — auch jenseits von 90° ist der Sinus definiert und hier positiv (P liegt oberhalb der x-Achse).
Stelle in der Figur α = 160° ein. Lies cos 160° ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: cos 160° ≈ −0,94 — die x-Koordinate ist links der y-Achse negativ. Der Kosinus setzt sich über 90° hinaus fort.
sin 120° ist nicht definiert, weil 120° kein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sein kann.
Erklärung: sin 120° ist sehr wohl definiert. Über die Koordinate des Punktes P gilt der Sinus für jeden Winkel — hier sin 120° ≈ 0,87.
sin 210° ist negativ.
Erklärung: 210° liegt unterhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist dort negativ.
sin 150° ist negativ.
Erklärung: 150° liegt oberhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist dort positiv.
Welcher Wert kann NICHT der Sinus eines Winkels sein?
Erklärung: sin α ist eine Koordinate auf dem Einheitskreis und liegt stets zwischen −1 und 1. 1,4 ist unmöglich.
Der Punkt P zu α = 90° ist (0 | 1). Wie groß ist sin 90°?
Erklärung: sin 90° ist die y-Koordinate von (0 | 1), also 1. Die 0 wäre die x-Koordinate (cos 90°).
An welchem Punkt ist sin α am größten?
Erklärung: sin α ist die y-Koordinate. Sie ist bei (0 | 1) maximal, nämlich 1.
An welchem Punkt ist cos α am kleinsten (am negativsten)?
Erklärung: cos α ist die x-Koordinate. Sie ist bei (−1 | 0) am kleinsten, nämlich −1.
Stelle in der Figur α = 35° ein. Lies tan 35° als Länge des Abschnitts auf der Tangente bei x = 1 ab (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: Der Abschnitt reicht von (1 | 0) bis etwa (1 | 0,70), also tan 35° ≈ 0,70. Zur Probe: sin 35° / cos 35° ≈ 0,574 / 0,819 ≈ 0,70.
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | 0,8). Berechne cos α.
Erklärung: cos α ist die x-Koordinate samt Vorzeichen, also −0,6. Die 0,8 wäre sin α.
Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | 0,8). Berechne sin α + cos α.
Erklärung: sin α = 0,8 und cos α = −0,6, also 0,8 + (−0,6) = 0,2. Das Vorzeichen der x-Koordinate darf nicht verloren gehen.
Der Punkt P(0,28 | 0,96) liegt auf dem Einheitskreis. Schreibe sin α
und cos α auf, begründe kurz, welche Koordinate welcher Wert ist,
und prüfe mit der Kreisgleichung x² + y² = 1, ob P wirklich auf dem
Einheitskreis liegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Am Einheitskreis ist cos α die x- und sin α die y-Koordinate. Die Probe ist die Kreisgleichung x² + y² = 1 aus Abschnitt 1 — sie gilt genau für Punkte mit Abstand 1 vom Ursprung.
Bei α = 45° ist der Abschnitt auf der Tangente bei x = 1 genau 1 lang.
Erklärung: Das ähnliche Dreieck mit der Kathete 1 auf der x-Achse ist bei 45° gleichschenklig, also ist auch die zweite Kathete 1 lang: tan 45° = 1.
Bei welchem Winkel ist der Abschnitt auf der Tangente bei x = 1 länger als der Radius?
Erklärung: Der Abschnitt ist tan α lang. tan 60° ≈ 1,73 ist länger als der Radius 1; tan 45° = 1 ist genau gleich lang, tan 30° ≈ 0,58 kürzer.
tan α liest man am Einheitskreis auf der senkrechten Tangente x = ___ ab.
Erklärung: Die senkrechte Tangente berührt den Einheitskreis im Punkt (1 | 0), sie ist die Gerade x = 1. Dort hat das ähnliche Dreieck die Kathete 1, und die andere Kathete ist tan α.
P hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Die Gerade durch O und P wird bis zur Tangente bei x = 1 verlängert. In welcher Höhe trifft sie die Tangente?
Erklärung: Die beiden Dreiecke sind ähnlich: Höhe / 1 = 0,6 / 0,8. Also liegt der Schnittpunkt bei (1 | 0,75), und tan α = 0,75.