Sinus und Kosinus als Koordinaten

Sine and Cosine as Coordinates

Mathematik Klasse 10 23 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisSinusKosinus

sin α und cos α sind als Koordinaten definiert: sin α ist die y-Koordinate, cos α die x-Koordinate des Punktes P auf dem Einheitskreis — kein Seitenverhältnis. Genau diese Koordinatendefinition setzt Sinus und Kosinus über den rechtwinkligen Bereich hinaus fort, auch für Winkel über 90° (Weber 2005). Sie räumt die zwei zentralen Fehlvorstellungen aus, „sin 120° ist nicht definiert" (das Verhältnis setze sich nicht fort) und „Sinus ist eine bloße Zahl ohne Vorzeichen". Grundlage für Vorzeichen, Sonderwerte und Periodizität.

Im rechtwinkligen Dreieck war Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse und Kosinus Ankathete durch Hypotenuse. Die Figur zeichnet so ein Dreieck in den Einheitskreis: Die Hypotenuse ist die Strecke mit der Länge 1, die Ankathete liegt auf der x-Achse, die Gegenkathete führt senkrecht hinauf zu P.

Mit der Hypotenuse 1 fällt das Teilen weg: , und die Gegenkathete ist genau so lang, wie P hoch liegt. Genauso ist cos α die waagerechte Kathete, so lang, wie P rechts vom Ursprung liegt.

Vergleiche die Anzeigen sin α und cos α mit den Katheten. Zieh α dann auf 120° — welcher Winkel steckt jetzt im Dreieck bei O, und in welche Richtung zeigt seine waagerechte Kathete?

Bei 120° gibt es das Dreieck noch, aber es passt nicht mehr: Sein Winkel bei O ist 60°, nicht 120°, und seine waagerechte Kathete zeigt nach links. Eine Seitenlänge ist nie negativ — die x-Koordinate von P, , schon. Die Koordinaten von P gibt es für jeden Winkel. Deshalb erweitert man die Definition:

  • cos α ist die x-Koordinate von P.
  • sin α ist die y-Koordinate von P.

Zwischen 0° und 90° liefert das genau die Werte vom Dreieck; darüber hinaus ist es die neue Definition, also . In der Figur ist die blaue Kathete cos α, die rote sin α: P liegt bei .

Verlängert man die Gerade vom Ursprung durch bis zur senkrechten Tangente an den Einheitskreis bei , so entsteht ein zweites, ähnliches rechtwinkliges Dreieck mit Kathete auf der x-Achse. Seine andere Kathete hat die Länge tan α: Gegenkathete durch Ankathete, bei 1 als Ankathete wieder ohne Teilen.

Voraussetzungen (1)

Ein Punkt auf dem Einheitskreis
Klasse 10
›

Ermöglicht (4)

Besondere Winkelwerte
Klasse 10
›
Der trigonometrische Pythagoras
Klasse 10
›
Negative Winkel und Periodizität
Klasse 10
›
Vorzeichen in den Quadranten
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Wie groß ist sin α?

  • ● 0,6
  • ○ 0,8
  • ○ 1
sin α ist die y-Koordinate von P, also 0,6. Die 0,8 ist die x-Koordinate (cos α), die 1 der Radius.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Wie groß ist cos α?

  • ● 0,8
  • ○ 0,6
  • ○ 1
cos α ist die x-Koordinate von P, also 0,8. Die 0,6 ist die y-Koordinate (sin α).
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,28 | 0,96). Wie groß ist sin α?

  • ● 0,96
  • ○ −0,28
  • ○ 1
sin α ist die y-Koordinate — hier 0,96. Der Punkt liegt links oben, die y-Koordinate bleibt positiv.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | −0,8). Wie groß ist cos α?

  • ● −0,6
  • ○ −0,8
  • ○ 0,6
cos α ist die x-Koordinate mit Vorzeichen, also −0,6. Die −0,8 ist die y-Koordinate (sin α); der Betrag 0,6 vergisst das Vorzeichen.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

sin 120° ist nicht definiert, weil 120° kein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sein kann.

✓ Falsch
sin 120° ist sehr wohl definiert. Über die Koordinate des Punktes P gilt der Sinus für jeden Winkel — hier sin 120° ≈ 0,87.
Wahr / Falsch #6 10s ▶ Testen

sin 210° ist negativ.

✓ Wahr
210° liegt unterhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist dort negativ.
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

sin 150° ist negativ.

✓ Falsch
150° liegt oberhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist dort positiv.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welcher Wert kann NICHT der Sinus eines Winkels sein?

  • ● 1,4
  • ○ 0,9
  • ○ −0,5
sin α ist eine Koordinate auf dem Einheitskreis und liegt stets zwischen −1 und 1. 1,4 ist unmöglich.
Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Der Punkt P zu α = 90° ist (0 | 1). Wie groß ist sin 90°?

  • ● 1
  • ○ 0
  • ○ −1
sin 90° ist die y-Koordinate von (0 | 1), also 1. Die 0 wäre die x-Koordinate (cos 90°).
Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

An welchem Punkt ist sin α am größten?

  • ● (0 | 1)
  • ○ (1 | 0)
  • ○ (0 | −1)
sin α ist die y-Koordinate. Sie ist bei (0 | 1) maximal, nämlich 1.
Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

An welchem Punkt ist cos α am kleinsten (am negativsten)?

  • ● (−1 | 0)
  • ○ (1 | 0)
  • ○ (0 | −1)
cos α ist die x-Koordinate. Sie ist bei (−1 | 0) am kleinsten, nämlich −1.
Wahr / Falsch #12 15s ▶ Testen

Bei α = 45° ist der Abschnitt auf der Tangente bei x = 1 genau 1 lang.

✓ Wahr
Das ähnliche Dreieck mit der Kathete 1 auf der x-Achse ist bei 45° gleichschenklig, also ist auch die zweite Kathete 1 lang: tan 45° = 1.
Multiple Choice #13 20s ▶ Testen

Bei welchem Winkel ist der Abschnitt auf der Tangente bei x = 1 länger als der Radius?

  • ● 60°
  • ○ 45°
  • ○ 30°
Der Abschnitt ist tan α lang. tan 60° ≈ 1,73 ist länger als der Radius 1; tan 45° = 1 ist genau gleich lang, tan 30° ≈ 0,58 kürzer.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Stelle in der Figur α = 10° ein. Lies cos 10° ab (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.98
cos 10° ≈ 0,98 — die x-Koordinate von P liegt knapp unter 1.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Stelle in der Figur α = 50° ein. Lies sin 50° ab (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.77
sin 50° ≈ 0,77 — die y-Koordinate von P.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Stelle in der Figur α = 130° ein. Lies sin 130° ab (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.77
sin 130° ≈ 0,77 — auch jenseits von 90° ist der Sinus definiert und hier positiv (P liegt oberhalb der x-Achse).
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Stelle in der Figur α = 160° ein. Lies cos 160° ab (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.94
cos 160° ≈ −0,94 — die x-Koordinate ist links der y-Achse negativ. Der Kosinus setzt sich über 90° hinaus fort.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Stelle in der Figur α = 35° ein. Lies tan 35° als Länge des Abschnitts auf der Tangente bei x = 1 ab (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.7
Der Abschnitt reicht von (1 | 0) bis etwa (1 | 0,70), also tan 35° ≈ 0,70. Zur Probe: sin 35° / cos 35° ≈ 0,574 / 0,819 ≈ 0,70.
Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | 0,8). Berechne cos α.

✓ Antwort: -0.6
cos α ist die x-Koordinate samt Vorzeichen, also −0,6. Die 0,8 wäre sin α.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

tan α liest man am Einheitskreis auf der senkrechten Tangente x = ___ ab.

✓ Antwort: 1
Die senkrechte Tangente berührt den Einheitskreis im Punkt (1 | 0), sie ist die Gerade x = 1. Dort hat das ähnliche Dreieck die Kathete 1, und die andere Kathete ist tan α.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Der Punkt P zu α hat die Koordinaten (−0,6 | 0,8). Berechne sin α + cos α.

✓ Antwort: 0.2
sin α = 0,8 und cos α = −0,6, also 0,8 + (−0,6) = 0,2. Das Vorzeichen der x-Koordinate darf nicht verloren gehen.
KI-bewertete Rechnung #2 180s ▶ Testen

Der Punkt P(0,28 | 0,96) liegt auf dem Einheitskreis. Schreibe sin α und cos α auf, begründe kurz, welche Koordinate welcher Wert ist, und prüfe mit der Kreisgleichung x² + y² = 1, ob P wirklich auf dem Einheitskreis liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin α = 0,96 (y-Koordinate), cos α = 0,28 (x-Koordinate). Probe: 0,96² + 0,28² = 0,9216 + 0,0784 = 1 — P liegt auf dem Einheitskreis.
Am Einheitskreis ist cos α die x- und sin α die y-Koordinate. Die Probe ist die Kreisgleichung x² + y² = 1 aus Abschnitt 1 — sie gilt genau für Punkte mit Abstand 1 vom Ursprung.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

P hat die Koordinaten (0,8 | 0,6). Die Gerade durch O und P wird bis zur Tangente bei x = 1 verlängert. In welcher Höhe trifft sie die Tangente?

✓ Antwort: 0.75
Die beiden Dreiecke sind ähnlich: Höhe / 1 = 0,6 / 0,8. Also liegt der Schnittpunkt bei (1 | 0,75), und tan α = 0,75.