Besondere Winkelwerte
sin 30° = ? (als Dezimalzahl)
Erklärung: sin 30° = 1/2 = 0,5. Am Einheitskreis liegt P bei 30° auf der Höhe 0,5.
cos 60° = ? (als Dezimalzahl)
Erklärung: cos 60° = 1/2 = 0,5 — die x-Koordinate von P bei 60°.
Welchen exakten Wert hat sin 45°?
Erklärung: sin 45° = √2/2 ≈ 0,71. Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck gilt v² + v² = 1, also v = √2/2.
Welchen exakten Wert hat cos 30°?
Erklärung: cos 30° = √3/2 ≈ 0,87. Die 1/2 ist cos 60° (bzw. sin 30°) — die beiden Anker √3/2 und 1/2 werden oft verwechselt.
Welchen exakten Wert hat sin 60°?
Erklärung: sin 60° = √3/2 ≈ 0,87. Die 1/2 wäre sin 30°.
Welchen exakten Wert hat cos 45°?
Erklärung: cos 45° = √2/2 = sin 45°, denn bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich groß.
Welchen exakten Wert hat sin 90°?
Erklärung: sin 90° = 1 — bei 90° liegt P bei (0 | 1), die y-Koordinate ist 1.
Welchen exakten Wert hat cos 90°?
Erklärung: cos 90° = 0 — bei 90° liegt P bei (0 | 1), die x-Koordinate ist 0. Die 1 wäre sin 90°.
Welchen exakten Wert hat sin 0°?
Erklärung: sin 0° = 0 — bei 0° liegt P bei (1 | 0), die y-Koordinate ist 0.
cos 0° = ?
Erklärung: cos 0° = 1 — bei 0° liegt P bei (1 | 0), die x-Koordinate ist 1.
Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt cos α = √3/2?
Erklärung: cos 30° = √3/2. Bei 60° wäre cos = 1/2.
Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt sin α = √3/2?
Erklärung: sin 60° = √3/2. Bei 30° wäre sin = 1/2.
Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt sin α = cos α?
Erklärung: Nur bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich, also sin 45° = cos 45° = √2/2.
Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt cos α = 0?
Erklärung: cos 90° = 0 — P liegt bei 90° auf der y-Achse, die x-Koordinate ist 0.
Welcher Sinuswert ist am größten?
Erklärung: Zwischen 0° und 90° wächst der Sinus mit dem Winkel. sin 60° = √3/2 ist größer als sin 45° und sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
Erklärung: Beide sind gleich 1/2. Allgemein gilt cos α = sin(90° − α) für Komplementärwinkel.
sin 60° = cos 30°.
Erklärung: Beide sind gleich √3/2 — Komplementärwinkel, denn 60° + 30° = 90°.
Gib den exakten Wert in Wurzelform an: sin 60° = ___
Erklärung: Im halben gleichseitigen Dreieck ist die Höhe √3/2 mal so lang wie die Seite, also sin 60° = √3/2 ≈ 0,87.
Gib den exakten Wert in Wurzelform an: cos 45° = ___
Erklärung: Bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich. Aus x² + x² = 1 folgt x = √2/2 ≈ 0,71.
Die Eselsbrücke lautet sin α = √n/2 mit n = 0, 1, 2, 3, 4 für α = 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Welches n gehört zu α = 60°?
Erklärung: Zu 60° gehört n = 3, also sin 60° = √3/2. Die Reihe √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 ergibt 0; 0,5; 0,71; 0,87; 1.
Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2 und halbiere
es durch die Höhe. Berechne die Höhe mit dem Satz des Pythagoras und
lies daraus sin 60° und cos 60° ab.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die besonderen Winkel sind keine Merkwerte, sondern Ergebnisse — das halbe gleichseitige Dreieck liefert 30° und 60°, das halbe Quadrat liefert 45°.
Gib den exakten Wert in Wurzelform an: cos 30° = ___
Erklärung: Im halbierten gleichseitigen Dreieck ist die Höhe √3/2 mal so lang wie die Seite, und bei 30° ist sie die x-Koordinate - cos 30° = √3/2 ≈ 0,87.
Eine 12 m lange Rampe steigt unter 30° an. Wie hoch liegt ihr oberes Ende (in m)?
Erklärung: h = 12 m · sin 30° = 12 m · 1/2 = 6 m. Bei 30° ist die Gegenkathete genau halb so lang wie die Hypotenuse.
Gib den exakten Wert in Wurzelform an: sin 45° = ___
Erklärung: Bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich. Aus x² + x² = 1 folgt x = √2/2 ≈ 0,71, also auch sin 45° = √2/2.
Ein Quadrat hat die Diagonale 10 cm. Wie lang ist eine Seite (in cm, auf 0,1 cm genau)?
Erklärung: Die Diagonale schließt mit jeder Seite 45° ein, also Seite = 10 cm · cos 45° = 10 cm · √2/2 ≈ 7,1 cm.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 8 cm. Wie hoch ist es (in cm, auf 0,1 cm genau)?
Erklärung: Die Höhe schneidet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel 60° an der Basis heraus - h = 8 cm · sin 60° = 8 cm · √3/2 ≈ 6,9 cm.
Dieselbe Reihe √n/2 mit n = 4, 3, 2, 1, 0 liefert die Kosinuswerte von 0°, 30°, 45°, 60° und 90°.
Erklärung: Der Kosinus läuft dieselbe Reihe rückwärts - cos 0° = √4/2 = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = √1/2 = 1/2, cos 90° = 0.
Setze n = 1 in die Merkhilfe √n/2 ein. Zu welchem Winkel zwischen 0° und 90° gehört dieser Sinuswert (in Grad)?
Erklärung: √1/2 = 1/2 = 0,5, und sin 30° = 0,5. In der Reihe n = 0, 1, 2, 3, 4 steht die 1 an zweiter Stelle, also bei 30°.
cos 20° = sin ___°
Erklärung: 20° und 70° ergänzen sich zu 90°. Also cos 20° = sin(90° − 20°) = sin 70°.
sin 75° = cos ___°
Erklärung: 75° + 15° = 90°. Aus cos α = sin(90° − α) folgt mit α = 15°: cos 15° = sin 75°.
Für einen spitzen Winkel α gilt sin α = 0,28. Wie groß ist cos(90° − α)?
Erklärung: α und 90° − α sind Komplementärwinkel: cos(90° − α) = sin α = 0,28. Rechnen musst du nichts.
cos 72° ≈ 0,309. Wie groß ist sin 18° (auf drei Nachkommastellen)?
Erklärung: 18° + 72° = 90°, also sin 18° = cos(90° − 18°) = cos 72° ≈ 0,309.