Besondere Winkelwerte

Special Angle Values

Mathematik Klasse 10 32 Aufgaben

TrigonometrieEinheitskreisBesondere Winkel

Die exakten Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° folgen am Einheitskreis geometrisch aus dem gleichseitigen bzw. gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck — sie sind begründbar, keine bloße Tabelle. Zwischen Wert und Winkel führt der Weg in beide Richtungen, und die notorisch verwechselten Anker √3/2 (cos 30° bzw. sin 60°) und 1/2 gehören sauber getrennt. Der sichere Abruf dieser fünf Anker ist Voraussetzung, um Werte in den anderen Quadranten über den Referenzwinkel zu bestimmen.

Die Vorzeichen in jedem Quadranten stehen jetzt fest, die Zahlen nur auf zwei Nachkommastellen, so wie die Anzeigen sie zeigen. Für die Winkel $0°$ , $30°$ , $45°$ , $60°$ und $90°$ lassen sich $cos α$ und $sin α$ exakt angeben. Sie stammen aus zwei besonderen Dreiecken mit Hypotenuse 1, und du solltest sie auswendig kennen.

Links das halbe gleichseitige Dreieck (30°, 60°), rechts das halbe Quadrat (45°, 45°), beide mit Hypotenuse 1. Schalte auf „ergänzt“: Warum ist die kurze Kathete links genau ½ lang?

Die beiden Dreiecke haben die Hypotenuse $1$ — den Radius des Einheitskreises —, also sind ihre Katheten direkt cos α (waagerecht) und sin α (senkrecht). Das halbe gleichseitige Dreieck: Das ganze gleichseitige Dreieck hat drei Seiten der Länge 1 und drei Winkel von 60°; halbiert man es, ist die kurze Kathete die halbe Seite, $\frac{1}{2}$ , und nach Pythagoras die lange $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \approx 0, 87$ (die Quadratwurzel eines Bruchs zieht man aus Zähler und Nenner einzeln). Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck (die halbe Fläche eines Quadrats mit der Diagonale 1) hat zwei gleiche Katheten $x$ mit $x^{2} + x^{2} = 1$ , also $x^{2} = \frac{1}{2}$ und $x = \frac{2}{2} \approx 0, 71$ .

Übersicht der besonderen Werte

$α$	$cos α$	$sin α$
$0°$	$\frac{4}{2} = 1$	$\frac{0}{2} = 0$
$30°$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$45°$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$
$60°$	$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$90°$	$\frac{0}{2} = 0$	$\frac{4}{2} = 1$

Eselsbrücke: Die Sinuswerte von $0°$ bis $90°$ folgen dem Muster $\frac{n}{2}$ für $n = 0, 1, 2, 3, 4$ . Die Kosinuswerte laufen genau in umgekehrter Reihenfolge.

Bewege α in Schritten von 15°: Welche Anzeigen zeigen bei 30°, 45° und 60° die Werte der Tabelle (≈ 0,87, 0,71, 0,50)?

Warum läuft Kosinus rückwärts? — $cos α = sin (90° - α)$

Vergleiche in der Tabelle die Spalten für $cos$ und $sin$ : Die Kosinuswerte sind die Sinuswerte von unten nach oben gelesen — also die Sinuswerte zum Komplementärwinkel $90° - α$ . Das ist dieselbe Regel wie im rechtwinkligen Dreieck: Die Ankathete von α ist die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels $90° - α$ . $cos α = sin (90° - α)$

Bewege α:

P^{'}

liegt beim Komplementärwinkel

90° - α

und wandert mit. Welche Kathete des einen Dreiecks ist so lang wie welche des anderen?

Die senkrechte Kathete bei $P^{'}$ ist so lang wie die waagerechte bei $P$ , nur gedreht. Deshalb sind $sin 30°$ und $cos 60°$ gleich groß, und die ganze Kosinusspalte ist die umgekehrte Sinusspalte.

Voraussetzungen (1)

Sinus und Kosinus als Koordinaten

Klasse 10

›

Ermöglicht (3)

Kosinuswerte der besonderen Winkel

Klasse 10

›

Sinuswerte der besonderen Winkel

Klasse 10

›

Stumpfe und überstumpfe Winkel

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 45°?

● √2/2
○ 1/2
○ √3/2

sin 45° = √2/2 ≈ 0,71. Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck gilt v² + v² = 1, also v = √2/2.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 30°?

● √3/2
○ 1/2
○ √2/2

cos 30° = √3/2 ≈ 0,87. Die 1/2 ist cos 60° (bzw. sin 30°) — die beiden Anker √3/2 und 1/2 werden oft verwechselt.

Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 60°?

● √3/2
○ 1/2
○ √2/2

sin 60° = √3/2 ≈ 0,87. Die 1/2 wäre sin 30°.

Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 45°?

● √2/2
○ √3/2
○ 1/2

cos 45° = √2/2 = sin 45°, denn bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich groß.

Multiple Choice #5 10s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 90°?

● 1
○ √3/2
○ 0

sin 90° = 1 — bei 90° liegt P bei (0 | 1), die y-Koordinate ist 1.

Multiple Choice #6 10s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 90°?

● 0
○ 1
○ 1/2

cos 90° = 0 — bei 90° liegt P bei (0 | 1), die x-Koordinate ist 0. Die 1 wäre sin 90°.

Multiple Choice #7 10s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 0°?

● 0
○ 1
○ 1/2

sin 0° = 0 — bei 0° liegt P bei (1 | 0), die y-Koordinate ist 0.

Zahleneingabe #8 10s ▶ Testen

cos 0° = ?

✓ Antwort: 1

cos 0° = 1 — bei 0° liegt P bei (1 | 0), die x-Koordinate ist 1.

Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt cos α = √3/2?

● 30°
○ 45°
○ 60°

cos 30° = √3/2. Bei 60° wäre cos = 1/2.

Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt sin α = √3/2?

● 60°
○ 30°
○ 45°

sin 60° = √3/2. Bei 30° wäre sin = 1/2.

Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt sin α = cos α?

● 45°
○ 30°
○ 60°

Nur bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich, also sin 45° = cos 45° = √2/2.

Multiple Choice #12 10s ▶ Testen

Für welchen Winkel zwischen 0° und 90° gilt cos α = 0?

● 90°
○ 0°
○ 60°

cos 90° = 0 — P liegt bei 90° auf der y-Achse, die x-Koordinate ist 0.

Multiple Choice #13 15s ▶ Testen

Welcher Sinuswert ist am größten?

● sin 60°
○ sin 45°
○ sin 30°

Zwischen 0° und 90° wächst der Sinus mit dem Winkel. sin 60° = √3/2 ist größer als sin 45° und sin 30°.

Wahr / Falsch #14 15s ▶ Testen

cos 60° = sin 30°.

✓ Wahr

Beide sind gleich 1/2. Allgemein gilt cos α = sin(90° − α) für Komplementärwinkel.

Wahr / Falsch #15 15s ▶ Testen

sin 60° = cos 30°.

✓ Wahr

Beide sind gleich √3/2 — Komplementärwinkel, denn 60° + 30° = 90°.

Wahr / Falsch #16 30s ▶ Testen

Dieselbe Reihe √n/2 mit n = 4, 3, 2, 1, 0 liefert die Kosinuswerte von 0°, 30°, 45°, 60° und 90°.

✓ Wahr

Der Kosinus läuft dieselbe Reihe rückwärts - cos 0° = √4/2 = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = √1/2 = 1/2, cos 90° = 0.

Mittel

Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

sin 30° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5

sin 30° = 1/2 = 0,5. Am Einheitskreis liegt P bei 30° auf der Höhe 0,5.

Zahleneingabe #2 10s ▶ Testen

cos 60° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5

cos 60° = 1/2 = 0,5 — die x-Koordinate von P bei 60°.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Gib den exakten Wert in Wurzelform an: sin 60° = ___

✓ Antwort: √3/2

Im halben gleichseitigen Dreieck ist die Höhe √3/2 mal so lang wie die Seite, also sin 60° = √3/2 ≈ 0,87.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Gib den exakten Wert in Wurzelform an: cos 45° = ___

✓ Antwort: √2/2

Bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich. Aus x² + x² = 1 folgt x = √2/2 ≈ 0,71.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Die Eselsbrücke lautet sin α = √n/2 mit n = 0, 1, 2, 3, 4 für α = 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Welches n gehört zu α = 60°?

✓ Antwort: 3

Zu 60° gehört n = 3, also sin 60° = √3/2. Die Reihe √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 ergibt 0; 0,5; 0,71; 0,87; 1.

Lückentext #6 20s ▶ Testen

Gib den exakten Wert in Wurzelform an: cos 30° = ___

✓ Antwort: √3/2

Im halbierten gleichseitigen Dreieck ist die Höhe √3/2 mal so lang wie die Seite, und bei 30° ist sie die x-Koordinate - cos 30° = √3/2 ≈ 0,87.

Lückentext #7 20s ▶ Testen

Gib den exakten Wert in Wurzelform an: sin 45° = ___

✓ Antwort: √2/2

Bei 45° sind x- und y-Koordinate gleich. Aus x² + x² = 1 folgt x = √2/2 ≈ 0,71, also auch sin 45° = √2/2.

Lückentext #8 15s ▶ Testen

cos 20° = sin ___°

✓ Antwort: 70

20° und 70° ergänzen sich zu 90°. Also cos 20° = sin(90° − 20°) = sin 70°.

Lückentext #9 15s ▶ Testen

sin 75° = cos ___°

✓ Antwort: 15

75° + 15° = 90°. Aus cos α = sin(90° − α) folgt mit α = 15°: cos 15° = sin 75°.

Schwer

KI-bewertete Rechnung #1 240s ▶ Testen

Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2 und halbiere es durch die Höhe. Berechne die Höhe mit dem Satz des Pythagoras und lies daraus sin 60° und cos 60° ab. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Höhe halbiert die Grundseite, also h = √(2² − 1²) = √3. Im halben Dreieck ist die Hypotenuse 2, die Ankathete von 60° ist 1 und die Gegenkathete √3. Damit ist cos 60° = 1/2 und sin 60° = √3/2 ≈ 0,87.

Die besonderen Winkel sind keine Merkwerte, sondern Ergebnisse — das halbe gleichseitige Dreieck liefert 30° und 60°, das halbe Quadrat liefert 45°.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Eine 12 m lange Rampe steigt unter 30° an. Wie hoch liegt ihr oberes Ende (in m)?

✓ Antwort: 6

h = 12 m · sin 30° = 12 m · 1/2 = 6 m. Bei 30° ist die Gegenkathete genau halb so lang wie die Hypotenuse.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Diagonale 10 cm. Wie lang ist eine Seite (in cm, auf 0,1 cm genau)?

✓ Antwort: 7.1

Die Diagonale schließt mit jeder Seite 45° ein, also Seite = 10 cm · cos 45° = 10 cm · √2/2 ≈ 7,1 cm.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 8 cm. Wie hoch ist es (in cm, auf 0,1 cm genau)?

✓ Antwort: 6.9

Die Höhe schneidet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel 60° an der Basis heraus - h = 8 cm · sin 60° = 8 cm · √3/2 ≈ 6,9 cm.

Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Setze n = 1 in die Merkhilfe √n/2 ein. Zu welchem Winkel zwischen 0° und 90° gehört dieser Sinuswert (in Grad)?

✓ Antwort: 30

√1/2 = 1/2 = 0,5, und sin 30° = 0,5. In der Reihe n = 0, 1, 2, 3, 4 steht die 1 an zweiter Stelle, also bei 30°.

Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel α gilt sin α = 0,28. Wie groß ist cos(90° − α)?

✓ Antwort: 0.28

α und 90° − α sind Komplementärwinkel: cos(90° − α) = sin α = 0,28. Rechnen musst du nichts.

Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

cos 72° ≈ 0,309. Wie groß ist sin 18° (auf drei Nachkommastellen)?

✓ Antwort: 0.309

18° + 72° = 90°, also sin 18° = cos(90° − 18°) = cos 72° ≈ 0,309.

Warum läuft Kosinus rückwärts? — cosα=sin(90°−α)

Voraussetzungen (1)

Ermöglicht (3)

Warum läuft Kosinus rückwärts? — $cos α = sin (90° - α)$