sin 150° = ? (als Dezimalzahl)

Erklärung: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 0,5. Im II. Quadranten bleibt die y-Koordinate positiv.

cos 120° = ? (als Dezimalzahl)

Erklärung: cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −0,5. Im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ.

Welchen exakten Wert hat sin 120°?

Erklärung: sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv, nicht −√3/2.

Welchen exakten Wert hat cos 150°?

Erklärung: cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ.

Welchen exakten Wert hat cos 240°?

Erklärung: cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2. Im III. Quadranten ist die x-Koordinate negativ.

Welchen exakten Wert hat cos 210°?

Erklärung: cos 210° = cos(180° + 30°) = −cos 30° = −√3/2. Im III. Quadranten ist der Kosinus negativ.

Welchen exakten Wert hat sin 210°?

Erklärung: sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.

Welchen exakten Wert hat sin 225°?

Erklärung: sin 225° = sin(180° + 45°) = −sin 45° = −√2/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.

Welchen exakten Wert hat cos 135°?

Erklärung: cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ.

Welchen exakten Wert hat sin 300°?

Erklärung: sin 300° = sin(360° − 60°) = −sin 60° = −√3/2. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.

Welcher Winkel hat denselben Sinuswert wie 40°?

Erklärung: sin 140° = sin(180° − 40°) = sin 40°. Bei 220° und 320° ist der Sinus dagegen negativ.

Welcher Winkel hat denselben Kosinuswert wie 50°?

Erklärung: cos 310° = cos(360° − 50°) = cos 50°. Bei 130° und 230° ist der Kosinus negativ.

sin 130° ist positiv.

Erklärung: 130° liegt im II. Quadranten, oberhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist positiv.

cos 100° ist positiv.

Erklärung: 100° liegt im II. Quadranten, links der y-Achse — der Kosinus ist dort negativ.

sin 200° = sin 20°.

Erklärung: 200° = 180° + 20°: P ist der am Ursprung gespiegelte Punkt von 20° und liegt im III. Quadranten — dort ist der Sinus negativ, also sin 200° = −sin 20°.

Berechne sin 210° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

Erklärung: 210° = 180° + 30°, also sin 210° = −sin 30° = −0,5. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.

Ein Winkel α liegt zwischen 90° und 180° und hat sin α = 0,5. Berechne α (in Grad).

Erklärung: sin 30° = 0,5, und sin(180° − 30°) = sin 30°. Der gesuchte Winkel im II. Quadranten ist also 150°. Der Taschenrechner liefert nur 30° — den zweiten Winkel muss man selbst ergänzen.

Ergänze die Rückführung: cos 120° = − cos ___

Erklärung: cos(180° − α) = −cos α mit α = 60°, also cos 120° = −cos 60° = −0,5.

Zeichne einen Einheitskreis, trage den Punkt für 210° ein und markiere den zugehörigen Winkel im ersten Quadranten. Schreibe die Rückführung von cos 210° auf diesen Winkel auf und gib den exakten Wert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Die Rückführung nutzt die Spiegelsymmetrie des Einheitskreises. Der Betrag kommt vom Winkel im ersten Quadranten, das Vorzeichen vom Quadranten.

Es ist cos 20° ≈ 0,94. Berechne cos 160° (auf zwei Nachkommastellen).

Erklärung: 160° = 180° − 20°, also cos 160° = − cos 20° ≈ −0,94. Der Supplementwinkel kippt beim Kosinus das Vorzeichen.

Es ist sin 50° ≈ 0,77. Berechne sin 230° (auf zwei Nachkommastellen).

Erklärung: 230° = 180° + 50°, der Punkt liegt genau gegenüber - sin 230° = − sin 50° ≈ −0,77.

Es ist cos 10° ≈ 0,98. Wie groß ist cos 350° (auf zwei Nachkommastellen)?

Erklärung: 350° = 360° − 10°. Die Spiegelung an der x-Achse lässt die x-Koordinate stehen, also cos 350° = cos 10° ≈ 0,98.

Ein Winkel zwischen 270° und 360° hat sin α = −0,5. Berechne α (in Grad).

Erklärung: sin 30° = 0,5, und im IV. Quadranten gilt sin(360° − α) = − sin α - also α = 360° − 30° = 330°.

Der Taschenrechner gibt für sin⁻¹(0,64) gerundet den Wert 40° (genau 39,79…°). Welcher zweite Winkel zwischen 0° und 360° hat denselben Sinuswert?

Erklärung: 180° − 40° = 140° (genauer 180° − 39,8° = 140,2°) — der an der y-Achse gespiegelte Winkel hat denselben Sinus. Bei 220° und 320° ist der Sinus negativ.

Ist α eine Lösung von sin x = c, so lautet die zweite Lösung zwischen 0° und 360°: ___ ° − α

Erklärung: 180° − α hat denselben Sinus wie α. Der Taschenrechner nennt immer nur die erste der beiden Lösungen.

Der Taschenrechner liefert für sin⁻¹(0,34) gerundet den Wert 19,9°. Der gesuchte Dreieckswinkel β ist aber stumpf. Wie groß ist β (in Grad, auf 0,1° genau)?

Erklärung: β ≈ 180° − 19,9° = 160,1° (genau 160,12…°). Beide Winkel haben den Sinus 0,34; welcher gemeint ist, entscheidet die Angabe im Text, nicht der Rechner.

Aufgabe 1 von 26