Stumpfe und überstumpfe Winkel

Obtuse and Reflex Angles

Mathematik Klasse 10 26 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisNebenwinkel

Sinus und Kosinus stumpfer und überstumpfer Winkel ergeben sich aus dem Referenzwinkel im ersten Quadranten plus dem Vorzeichen des Quadranten: sin 150° = sin 30°, cos 240° = −cos 60°. Das verzahnt die Sonderwerte mit der Vorzeichenregel. Falsch ist die Annahme, der Referenzwinkel liefere stets dasselbe Vorzeichen — sin 200° ist eben nicht sin 20°, sondern −sin 20°. Diese Rückführung trägt später das Lösen trigonometrischer Gleichungen mit mehreren Lösungen.

Die Quadranten liefern für 120° nur das Vorzeichen, die Tabelle die exakten Werte nur bis 90°. Die Brücke dazwischen ist die Symmetrie des Einheitskreises: Man spiegelt P so, dass der Spiegelpunkt im I. Quadranten landet. Der Spiegelpunkt liegt wieder auf dem Einheitskreis, also gehört zu ihm ein eigener Winkel, und seine Koordinaten sind direkt und dieses neuen Winkels.

Spiegelung an der y-Achse —

Spiegelt man den Punkt an der y-Achse, bleibt die y-Koordinate gleich, die x-Koordinate kehrt das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist :

Bewege α: P' ist die Spiegelung von P an der y-Achse, sein Winkel 180° − α. Welcher Chip bleibt gleich, welcher kippt?

Punktspiegelung am Ursprung —

Spiegelt man den Punkt am Ursprung, kehren beide Koordinaten das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist :

Bewege α: P' ist der am Ursprung gespiegelte Punkt, sein Winkel 180° + α. Welche Koordinaten wechseln jetzt das Vorzeichen?

Spiegelung an der x-Achse —

Spiegelt man den Punkt an der x-Achse, bleibt die x-Koordinate gleich, die y-Koordinate kehrt das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist : eine volle Umdrehung, aber um zu kurz — P' liegt genau so weit unter der x-Achse wie P darüber.

Bewege α: P' ist die Spiegelung von P an der x-Achse, sein Winkel 360° − α (die lange Spirale). Welcher Chip bleibt gleich, welcher kippt?

Der Taschenrechner kennt nur einen Winkel

Rückwärts — vom Sinuswert zum Winkel — hilft die Spiegelung an der y-Achse. Die Taste gibt immer nur einen Winkel aus, und zwar einen zwischen und : . Derselbe Sinus gehört aber auch zu — dem Punkt gleicher Höhe auf der anderen Seite der y-Achse. Den zweiten Winkel rechnest du selbst aus.

Zieh α₁: Die gestrichelte Gerade gleicher Höhe schneidet den Kreis zweimal, α₁ zeigt der Taschenrechner, α₂ = 180° − α₁ nicht. Wo liegen die beiden Punkte, wenn α₁ unter 0° fällt?

Voraussetzungen (2)

Vorzeichen in den Quadranten
Klasse 10
›
Besondere Winkelwerte
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Alles zusammen am Einheitskreis
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 120°?

  • ● √3/2
  • ○ 1/2
  • ○ −√3/2
sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv, nicht −√3/2.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 150°?

  • ● −√3/2
  • ○ √3/2
  • ○ −1/2
cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 240°?

  • ● −1/2
  • ○ 1/2
  • ○ −√3/2
cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2. Im III. Quadranten ist die x-Koordinate negativ.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 210°?

  • ● −√3/2
  • ○ √3/2
  • ○ −1/2
cos 210° = cos(180° + 30°) = −cos 30° = −√3/2. Im III. Quadranten ist der Kosinus negativ.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 210°?

  • ● −1/2
  • ○ 1/2
  • ○ −√3/2
sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 225°?

  • ● −√2/2
  • ○ √2/2
  • ○ −1/2
sin 225° = sin(180° + 45°) = −sin 45° = −√2/2. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat cos 135°?

  • ● −√2/2
  • ○ √2/2
  • ○ √3/2
cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welchen exakten Wert hat sin 300°?

  • ● −√3/2
  • ○ √3/2
  • ○ −1/2
sin 300° = sin(360° − 60°) = −sin 60° = −√3/2. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welcher Winkel hat denselben Sinuswert wie 40°?

  • ● 140°
  • ○ 220°
  • ○ 320°
sin 140° = sin(180° − 40°) = sin 40°. Bei 220° und 320° ist der Sinus dagegen negativ.
Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Welcher Winkel hat denselben Kosinuswert wie 50°?

  • ● 310°
  • ○ 130°
  • ○ 230°
cos 310° = cos(360° − 50°) = cos 50°. Bei 130° und 230° ist der Kosinus negativ.
Wahr / Falsch #11 10s ▶ Testen

sin 130° ist positiv.

✓ Wahr
130° liegt im II. Quadranten, oberhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist positiv.
Wahr / Falsch #12 10s ▶ Testen

cos 100° ist positiv.

✓ Falsch
100° liegt im II. Quadranten, links der y-Achse — der Kosinus ist dort negativ.
Wahr / Falsch #13 15s ▶ Testen

sin 200° = sin 20°.

✓ Falsch
200° = 180° + 20°: P ist der am Ursprung gespiegelte Punkt von 20° und liegt im III. Quadranten — dort ist der Sinus negativ, also sin 200° = −sin 20°.
Multiple Choice #14 30s ▶ Testen

Der Taschenrechner gibt für sin⁻¹(0,64) gerundet den Wert 40° (genau 39,79…°). Welcher zweite Winkel zwischen 0° und 360° hat denselben Sinuswert?

  • ● 140°
  • ○ 220°
  • ○ 320°
180° − 40° = 140° (genauer 180° − 39,8° = 140,2°) — der an der y-Achse gespiegelte Winkel hat denselben Sinus. Bei 220° und 320° ist der Sinus negativ.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

sin 150° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5
sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 0,5. Im II. Quadranten bleibt die y-Koordinate positiv.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

cos 120° = ? (als Dezimalzahl)

✓ Antwort: -0.5
cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −0,5. Im II. Quadranten ist die x-Koordinate negativ.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne sin 210° (als Dezimalzahl, auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.5
210° = 180° + 30°, also sin 210° = −sin 30° = −0,5. Im III. Quadranten ist der Sinus negativ.
Lückentext #4 25s ▶ Testen

Ergänze die Rückführung: cos 120° = − cos ___

✓ Antwort: 60°
cos(180° − α) = −cos α mit α = 60°, also cos 120° = −cos 60° = −0,5.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Es ist cos 10° ≈ 0,98. Wie groß ist cos 350° (auf zwei Nachkommastellen)?

✓ Antwort: 0.98
350° = 360° − 10°. Die Spiegelung an der x-Achse lässt die x-Koordinate stehen, also cos 350° = cos 10° ≈ 0,98.
Lückentext #6 25s ▶ Testen

Ist α eine Lösung von sin x = c, so lautet die zweite Lösung zwischen 0° und 360°: ___ ° − α

✓ Antwort: 180
180° − α hat denselben Sinus wie α. Der Taschenrechner nennt immer nur die erste der beiden Lösungen.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Winkel α liegt zwischen 90° und 180° und hat sin α = 0,5. Berechne α (in Grad).

✓ Antwort: 150
sin 30° = 0,5, und sin(180° − 30°) = sin 30°. Der gesuchte Winkel im II. Quadranten ist also 150°. Der Taschenrechner liefert nur 30° — den zweiten Winkel muss man selbst ergänzen.
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Zeichne einen Einheitskreis, trage den Punkt für 210° ein und markiere den zugehörigen Winkel im ersten Quadranten. Schreibe die Rückführung von cos 210° auf diesen Winkel auf und gib den exakten Wert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 210° = 180° + 30°, der zugehörige Winkel im ersten Quadranten ist 30°. Es gilt cos(180° + α) = −cos α, also cos 210° = −cos 30° = −√3/2 ≈ −0,87.
Die Rückführung nutzt die Spiegelsymmetrie des Einheitskreises. Der Betrag kommt vom Winkel im ersten Quadranten, das Vorzeichen vom Quadranten.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Es ist cos 20° ≈ 0,94. Berechne cos 160° (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.94
160° = 180° − 20°, also cos 160° = − cos 20° ≈ −0,94. Der Supplementwinkel kippt beim Kosinus das Vorzeichen.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Es ist sin 50° ≈ 0,77. Berechne sin 230° (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.77
230° = 180° + 50°, der Punkt liegt genau gegenüber - sin 230° = − sin 50° ≈ −0,77.
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Ein Winkel zwischen 270° und 360° hat sin α = −0,5. Berechne α (in Grad).

✓ Antwort: 330
sin 30° = 0,5, und im IV. Quadranten gilt sin(360° − α) = − sin α - also α = 360° − 30° = 330°.
Zahleneingabe #6 45s ▶ Testen

Der Taschenrechner liefert für sin⁻¹(0,34) gerundet den Wert 19,9°. Der gesuchte Dreieckswinkel β ist aber stumpf. Wie groß ist β (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 160.1
β ≈ 180° − 19,9° = 160,1° (genau 160,12…°). Beide Winkel haben den Sinus 0,34; welcher gemeint ist, entscheidet die Angabe im Text, nicht der Rechner.