Ein Pfad im Baumdiagramm besteht aus zwei Ästen mit P = 0,4 und P = 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades?

Erklärung: Entlang eines Pfades wird multipliziert (1. Pfadregel): 0,4 · 0,5 = 0,2. Addieren (0,9) gehört zur Summenregel über verschiedene Pfade, nicht entlang eines Pfades.

Zwei verschiedene Pfade führen zum Ereignis „genau eine 6", jeder mit P = 5/36. Wie groß ist P(genau eine 6)?

Erklärung: Über verschiedene Pfade zum selben Ereignis wird addiert (2. Pfadregel): 5/36 + 5/36 = 10/36. Multiplizieren (25/1296) gälte entlang eines Pfades; 5/36 vergisst den zweiten Pfad.

Ein Glücksrad hat die Felder A, B und C. Es wird zweimal gedreht. Wie viele Pfade hat das vollständige Baumdiagramm?

Erklärung: 3 Möglichkeiten pro Drehung, zwei Drehungen: 3 · 3 = 9 Pfade. 6 entsteht durch Addieren (3 + 3) statt Multiplizieren der Stufen.

Zwei faire Würfel werden geworfen. Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten?

Erklärung: Summe 7 entsteht über 6 Pfade (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), Summe 2 nur über einen (1+1) und Summe 12 nur über einen (6+6). Nicht alle Augensummen sind gleich wahrscheinlich.

Beim Werfen zweier Würfel ist die Augensumme 7 genauso wahrscheinlich wie die Augensumme 2.

Erklärung: Summe 7 entsteht über 6 Pfade, Summe 2 nur über einen (1+1) — 6/36 gegen 1/36. Die Ergebnisse eines zusammengesetzten Experiments sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich.

Eine Familie hat zwei Kinder. Was ist am wahrscheinlichsten (P(Junge) = P(Mädchen) = 1/2)?

Erklärung: „Junge–Mädchen" entsteht über zwei Pfade (JM und MJ) → 2/4; „zwei Jungen" und „zwei Mädchen" je nur über einen → 1/4. Die drei Fälle sind nicht gleich wahrscheinlich.

Eine Urne enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(2. blau, wenn 1. rot war)?

Erklärung: Nach dem Ziehen einer roten Kugel sind noch 9 Kugeln übrig, davon 6 blaue → 6/9. 6/10 behandelt die Stufe fälschlich wie mit Zurücklegen (die entnommene Kugel fehlt aber).

Beim Ziehen ohne Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe gleich wie in der ersten.

Erklärung: Ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der Urne — die zweite Stufe hat andere Wahrscheinlichkeiten (Abhängigkeit). Nur mit Zurücklegen blieben sie gleich.

Eine Urne enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(1. rot, 2. blau)?

Erklärung: P(1. rot) = 4/10, P(2. blau | 1. rot) = 6/9. Produktregel: 4/10 · 6/9 = 24/90 = 4/15. 6/25 rechnet fälschlich mit gleichbleibenden Anteilen (6/10 · … ) wie mit Zurücklegen.

Eine Urne enthält 5 rote und 5 blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(beide gleiche Farbe)?

Erklärung: P(RR) = 5/10 · 4/9 = 20/90, P(BB) = 5/10 · 4/9 = 20/90, zusammen 40/90 = 4/9. 1/2 entstünde, wenn man mit gleichbleibenden Anteilen (mit Zurücklegen) rechnete.

Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(eine rote und eine blaue)?

Erklärung: Beide Reihenfolgen zählen: P(rb) = 3/5 · 2/4 = 6/20 und P(br) = 2/5 · 3/4 = 6/20, zusammen 12/20 = 3/5. 3/10 zählt nur eine Reihenfolge.

Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Man zieht zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist P(zweimal rot)? Angabe als Bruch mit Nenner 25 — Zähler eingeben.

Erklärung: P(rot) = 3/5. Mit Zurücklegen bleibt der Anteil gleich, also P(rot, rot) = 3/5 · 3/5 = 9/25.

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist P(mindestens eine 6)? Angabe als Bruch mit Nenner 36 — Zähler eingeben.

Erklärung: P(mindestens eine 6) = 1 − P(keine 6) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.

Man wirft eine faire Münze dreimal. Wie viele Pfade führen zu genau 2-mal Kopf? (Anzahl eingeben)

Erklärung: Die Pfade mit genau 2-mal Kopf sind KKZ, KZK, ZKK — das sind 3 Pfade.

Man wirft eine faire Münze dreimal. P(genau 2-mal Kopf) = ___/8.

Erklärung: Es gibt 3 günstige Pfade (KKZ, KZK, ZKK), jeder mit P = (1/2)³ = 1/8. Summenregel: 3/8.

Ein zweistufiges Baumdiagramm hat in der ersten Stufe 3 und in der zweiten Stufe 4 Ausgänge. Es besitzt insgesamt ___ Pfade.

Erklärung: Anzahl der Pfade = 3 · 4 = 12 (Stufen multiplizieren, nicht addieren).

Ein zweistufiges Baumdiagramm hat die vier Pfade mit P = 0,2; 0,3; 0,2 und 0,4. Ist das Baumdiagramm vollständig?

Erklärung: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten ist 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,4 = 1,1 > 1 — ein Wert stimmt nicht, das Baumdiagramm kann nicht vollständig sein. Bei einem vollständigen Baumdiagramm ergibt die Summe aller Pfade genau 1.

Bei einem Glücksrad ist P(Gewinn) = 0,3. Man dreht zweimal. Wie groß ist P(genau einmal Gewinn)? Angabe in Prozent (ganze Zahl).

Erklärung: Zwei Pfade: P(GN) + P(NG) = 0,3 · 0,7 + 0,7 · 0,3 = 0,42 = 42 %. Beide Reihenfolgen addieren (Summenregel).

Aufgabe 1 von 18