Welche waagrechte Asymptote hat der Graph von f(x) = (3x−1)/(x+2)?

Erklärung: Zähler- und Nennergrad sind gleich (beide 1). Die waagrechte Asymptote ist y = Leitkoeffizient Zähler / Leitkoeffizient Nenner = 3/1 = 3.

Die senkrechte Asymptote von f(x) = 1/(x−5) hat die Gleichung x = ___.

Erklärung: Der Nenner wird null für x = 5. Da der Zähler dort nicht null ist, liegt bei x = 5 eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.

Wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, dann ist y = 0 die waagrechte Asymptote.

Erklärung: Richtig. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, strebt f(x) → 0 für x → ±∞.

Was gilt für f(x) = (x²+1)/(x−3) bezüglich x = 3?

Erklärung: Der Nenner wird bei x = 3 null, der Zähler ist dort 3²+1 = 10 ≠ 0. Also liegt eine Polstelle vor.

Für f(x) = 5/(x²) gilt: lim(x→0⁺) f(x) = ___.

Erklärung: Für x → 0⁺ ist x² > 0 und x² → 0, also 5/x² → +∞.

Wie viele senkrechte Asymptoten hat f(x) = (x+1)/(x²−5x+6)?

Erklärung: Nenner: x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0 für x = 2 und x = 3. Zähler ist dort jeweils ≠ 0. Also gibt es zwei senkrechte Asymptoten.

Welche Asymptote hat f(x) = (2x²+x)/(x+1) für x → ±∞?

Erklärung: Der Zählergrad (2) ist genau um 1 größer als der Nennergrad (1). Daher existiert eine schräge Asymptote (ermittelbar durch Polynomdivision).

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel wechselt die Funktion von +∞ zu −∞ (oder umgekehrt).

Erklärung: Richtig. Ein Vorzeichenwechsel am Pol bedeutet, dass die Funktion von einer Seite gegen +∞ und von der anderen gegen −∞ strebt.

Für f(x) = (4x+1)/(2x−3) ist die waagrechte Asymptote y = ___.

Erklärung: Gleicher Grad in Zähler und Nenner. Asymptote: y = 4/2 = 2.

Was gilt für das Verhalten von f(x) = −1/(x−2) links der Polstelle x = 2?

Erklärung: Für x → 2⁻ ist (x−2) < 0 und klein, also 1/(x−2) → −∞. Mit dem Faktor −1 ergibt sich −1/(x−2) → +∞.

f(x) = (x−1)/(x+4). Berechne lim(x→+∞) f(x) als Dezimalzahl.

Erklärung: Gleicher Grad, Leitkoeffizienten jeweils 1. Also lim(x→+∞) f(x) = 1/1 = 1.

Der Graph von f(x) = 1/x hat genau eine senkrechte und eine waagrechte Asymptote.

Erklärung: Richtig. Senkrechte Asymptote: x = 0 (Polstelle). Waagrechte Asymptote: y = 0 (Zählergrad < Nennergrad).

Für f(x) = x/(x²+1) gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___.

Erklärung: Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also konvergiert f(x) → 0 für x → +∞.

f(x) = (x²−4)/(x−2). Was liegt bei x = 2 vor?

Erklärung: x²−4 = (x−2)(x+2). Kürzen: f(x) = x+2 für x ≠ 2. Der gemeinsame Faktor hebt sich auf – es bleibt eine hebbare Lücke, kein Pol. Eine Nullstelle ist x = 2 auch nicht: f ist dort gar nicht definiert (der Grenzwert ist 4).

Bestimme den y-Wert der waagrechten Asymptote von f(x) = (6x²−x)/(3x²+2).

Erklärung: Zähler- und Nennergrad sind gleich (2). Asymptote: y = 6/3 = 2.

Wenn eine gebrochen-rationale Funktion eine schräge Asymptote besitzt, kann sie keine waagrechte Asymptote haben.

Erklärung: Richtig. Eine schräge Asymptote tritt auf, wenn der Zählergrad um genau 1 größer als der Nennergrad ist. Eine waagrechte existiert nur bei gleichem oder kleinerem Zählergrad. Beides schließt sich aus.

Bestimme die schräge Asymptote von f(x) = (x² + 2x)/(x + 1) durch Polynomdivision. Die Asymptote hat die Form y = x + a. Berechne a.

Erklärung: (x² + 2x)/(x+1) = x + 1 − 1/(x+1). Für x → ±∞ fällt −1/(x+1) weg. Schräge Asymptote: y = x + 1, also a = 1.

f(x) = (x−1)/((x−2)(x+3)). An wie vielen Stellen hat f eine Polstelle?

Erklärung: Der Nenner wird null bei x = 2 und x = −3. Der Zähler ist dort jeweils ≠ 0 (f(2) = 1/5·0, f(−3) = −4/0). Also zwei Polstellen.

f(x) = (2x² + 3x − 2)/(x + 2). Polynomdivision ergibt f(x) = 2x − 1 + ___/(x+2). Die hebbare Lücke oder Asymptote hängt vom Rest ab.

Erklärung: 2x² + 3x − 2 = (x+2)(2x−1). Also f(x) = 2x−1 für x ≠ −2. Der Rest ist 0, es liegt eine hebbare Lücke bei x = −2 vor.

f(x) = 3/(x²−4). Berechne lim(x→2⁺) f(x). Gib +∞ als 999, −∞ als −999 an.

Erklärung: x²−4 = (x−2)(x+2). Für x→2⁺: (x−2)→0⁺ und (x+2)→4. Also x²−4→0⁺ und 3/(x²−4)→+∞.

Aufgabe 1 von 20