Asymptoten und Polstellen

Asymptotes and Poles

Mathematik Klasse 11 20 Aufgaben
AnalysisAsymptotenPoleKerncurriculum

Gebrochen-rationale Funktionen haben zwei Arten von Grenzverhalten: senkrechte Asymptoten an den Polstellen (ein- oder beidseitiger Vorzeichenwechsel je nach Vielfachheit) und waagrechte Asymptoten, die sich aus dem Gradvergleich von Zähler und Nenner ergeben. Der Kern ist die Übersetzung zwischen Term, Grenzwertaussage und Graphenbild — nicht das Auswendiglernen der drei Gradvergleichsfälle. Das beugt dem Fehlbild vor, ein Graph dürfe seine Asymptote „nie berühren oder schneiden": Das gilt nur für Polgeraden, nicht für waagrechte Asymptoten.

Voraussetzungen (2)

Gebrochen-rationale Funktionen – Vertiefung
Klasse 11
›
Grenzverhalten und Stetigkeit
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche waagrechte Asymptote hat der Graph von f(x) = (3x−1)/(x+2)?

  • ● y = 3
  • ○ y = −1
  • ○ y = 0
  • ○ y = −2
Zähler- und Nennergrad sind gleich (beide 1). Die waagrechte Asymptote ist y = Leitkoeffizient Zähler / Leitkoeffizient Nenner = 3/1 = 3.
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Die senkrechte Asymptote von f(x) = 1/(x−5) hat die Gleichung x = ___.

✓ Antwort: 5
Der Nenner wird null für x = 5. Da der Zähler dort nicht null ist, liegt bei x = 5 eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, dann ist y = 0 die waagrechte Asymptote.

✓ Wahr
Richtig. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, strebt f(x) → 0 für x → ±∞.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Was gilt für f(x) = (x²+1)/(x−3) bezüglich x = 3?

  • ● x = 3 ist eine Polstelle mit senkrechter Asymptote x = 3.
  • ○ x = 3 ist eine hebbare Definitionslücke.
  • ○ x = 3 ist eine Nullstelle.
  • ○ x = 3 ist eine Wendestelle.
Der Nenner wird bei x = 3 null, der Zähler ist dort 3²+1 = 10 ≠ 0. Also liegt eine Polstelle vor.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = 5/(x²) gilt: lim(x→0⁺) f(x) = ___.

✓ Antwort: +∞
Für x → 0⁺ ist x² > 0 und x² → 0, also 5/x² → +∞.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Für f(x) = (4x+1)/(2x−3) ist die waagrechte Asymptote y = ___.

✓ Antwort: 2
Gleicher Grad in Zähler und Nenner. Asymptote: y = 4/2 = 2.
Zahleneingabe #7 15s ▶ Testen

f(x) = (x−1)/(x+4). Berechne lim(x→+∞) f(x) als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 1
Gleicher Grad, Leitkoeffizienten jeweils 1. Also lim(x→+∞) f(x) = 1/1 = 1.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 1/x hat genau eine senkrechte und eine waagrechte Asymptote.

✓ Wahr
Richtig. Senkrechte Asymptote: x = 0 (Polstelle). Waagrechte Asymptote: y = 0 (Zählergrad < Nennergrad).
Lückentext #9 15s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x²+1) gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___.

✓ Antwort: 0
Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also konvergiert f(x) → 0 für x → +∞.
Zahleneingabe #10 20s ▶ Testen

Bestimme den y-Wert der waagrechten Asymptote von f(x) = (6x²−x)/(3x²+2).

✓ Antwort: 2
Zähler- und Nennergrad sind gleich (2). Asymptote: y = 6/3 = 2.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Wie viele senkrechte Asymptoten hat f(x) = (x+1)/(x²−5x+6)?

✓ Antwort: 2
Nenner: x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0 für x = 2 und x = 3. Zähler ist dort jeweils ≠ 0. Also gibt es zwei senkrechte Asymptoten.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Asymptote hat f(x) = (2x²+x)/(x+1) für x → ±∞?

  • ● Eine schräge Asymptote
  • ○ Eine waagrechte Asymptote y = 2
  • ○ Keine Asymptote
  • ○ Eine waagrechte Asymptote y = 0
Der Zählergrad (2) ist genau um 1 größer als der Nennergrad (1). Daher existiert eine schräge Asymptote (ermittelbar durch Polynomdivision).
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel wechselt die Funktion von +∞ zu −∞ (oder umgekehrt).

✓ Wahr
Richtig. Ein Vorzeichenwechsel am Pol bedeutet, dass die Funktion von einer Seite gegen +∞ und von der anderen gegen −∞ strebt.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Was gilt für das Verhalten von f(x) = −1/(x−2) links der Polstelle x = 2?

  • ● lim(x→2⁻) f(x) = +∞
  • ○ lim(x→2⁻) f(x) = −∞
  • ○ lim(x→2⁻) f(x) = 0
  • ○ lim(x→2⁻) f(x) = −1
Für x → 2⁻ ist (x−2) < 0 und klein, also 1/(x−2) → −∞. Mit dem Faktor −1 ergibt sich −1/(x−2) → +∞.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

f(x) = (x²−4)/(x−2). Was liegt bei x = 2 vor?

  • ○ eine Polstelle mit senkrechter Asymptote
  • ○ eine Nullstelle
  • ● eine hebbare Lücke
x²−4 = (x−2)(x+2). Kürzen: f(x) = x+2 für x ≠ 2. Der gemeinsame Faktor hebt sich auf – es bleibt eine hebbare Lücke, kein Pol. Eine Nullstelle ist x = 2 auch nicht: f ist dort gar nicht definiert (der Grenzwert ist 4).
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Wenn eine gebrochen-rationale Funktion eine schräge Asymptote besitzt, kann sie keine waagrechte Asymptote haben.

✓ Wahr
Richtig. Eine schräge Asymptote tritt auf, wenn der Zählergrad um genau 1 größer als der Nennergrad ist. Eine waagrechte existiert nur bei gleichem oder kleinerem Zählergrad. Beides schließt sich aus.
Zahleneingabe #7 30s ▶ Testen

Bestimme die schräge Asymptote von f(x) = (x² + 2x)/(x + 1) durch Polynomdivision. Die Asymptote hat die Form y = x + a. Berechne a.

✓ Antwort: 1
(x² + 2x)/(x+1) = x + 1 − 1/(x+1). Für x → ±∞ fällt −1/(x+1) weg. Schräge Asymptote: y = x + 1, also a = 1.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

f(x) = (x−1)/((x−2)(x+3)). An wie vielen Stellen hat f eine Polstelle?

  • ● 2 (bei x = 2 und x = −3)
  • ○ 1 (nur bei x = 2)
  • ○ 3
  • ○ 0
Der Nenner wird null bei x = 2 und x = −3. Der Zähler ist dort jeweils ≠ 0 (f(2) = 1/5·0, f(−3) = −4/0). Also zwei Polstellen.
Zahleneingabe #9 25s ▶ Testen

f(x) = 3/(x²−4). Berechne lim(x→2⁺) f(x). Gib +∞ als 999, −∞ als −999 an.

✓ Antwort: 999
x²−4 = (x−2)(x+2). Für x→2⁺: (x−2)→0⁺ und (x+2)→4. Also x²−4→0⁺ und 3/(x²−4)→+∞.
Schwer
Lückentext #1 30s ▶ Testen

f(x) = (2x² + 3x − 2)/(x + 2). Polynomdivision ergibt f(x) = 2x − 1 + ___/(x+2). Die hebbare Lücke oder Asymptote hängt vom Rest ab.

✓ Antwort: 0
2x² + 3x − 2 = (x+2)(2x−1). Also f(x) = 2x−1 für x ≠ −2. Der Rest ist 0, es liegt eine hebbare Lücke bei x = −2 vor.