Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ein SchĂŒler wird zufĂ€llig ausgewĂ€hlt. B: âer fĂ€hrt mit dem Rad zur Schule", A: âer trĂ€gt einen Helm". Welcher Anteil ist P_B(A)?
ErklĂ€rung: Der Index nennt die Bedingung: P_B(A) schrĂ€nkt auf die Radfahrer (B) ein und fragt, wie oft darunter A eintritt. Der zweite Anteil wĂ€re P_A(B), der dritte P(Aâ©B).
P(Aâ©B) = 0,12 und P(B) = 0,4. Berechne P_B(A).
ErklĂ€rung: P_B(A) = P(Aâ©B)/P(B) = 0,12/0,4 = 0,3.
In einer Schule spielen 10 der 20 FuĂballer auch Handball, also P_FuĂball(Handball) = 0,5. Insgesamt gibt es 40 Handballer. Dann ist auch P_Handball(FuĂball) = 0,5.
ErklĂ€rung: Falsch. Die Bezugsgruppe wechselt mit der Bedingung â P_Handball(FuĂball) = 10/40 = 0,25, nicht 0,5. P_B(A) und P_A(B) sind im Allgemeinen verschieden.
In einer Vierfeldertafel steht in der Zelle (A, B) der Wert 30 und am Rand bei B die Summe 100. Was ist P_B(A)?
ErklÀrung: P_B(A) = 30/100 = 0,30. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als Anteil der Zelle an der Randsumme der Bedingung.
In einer medizinischen Studie ist P(krank) = 0,01 und P_krank(positiv) = 0,95. Dann ist P(krank â© positiv) = ___.
ErklÀrung: P(krank ⩠positiv) = P(krank) · P_krank(positiv) = 0,01 · 0,95 = 0,0095.
Von 200 SchĂŒlern spielen 80 FuĂball (F) und 50 Tennis (T). 20 spielen beides. Berechne P_F(T).
ErklĂ€rung: P_F(T) = P(Fâ©T)/P(F) = (20/200)/(80/200) = 20/80 = 0,25.
Gegeben sind P(A) = 0,2, P_A(B) = 0,9 und P(B) = 0,3. Welche Rechnung liefert P_B(A)?
ErklĂ€rung: Umrechnen der Bedingungsrichtung geht ĂŒber den Satz von Bayes: P_B(A) = P(A) · P_A(B) / P(B). P_A(B) einfach zu ĂŒbernehmen verwechselt die beiden Richtungen; 0,2 · 0,9 ist erst P(Aâ©B) â die Division durch P(B) fehlt noch.
Im Baumdiagramm gilt P(Regen) = 0,3 und P_Regen(Stau) = 0,8. Lena rechnet P(Regen ⩠Stau) = 0,3 · 0,8 = 0,24. Ihre Rechnung ist richtig.
ErklĂ€rung: Richtig. Entlang eines Pfades im Baumdiagramm multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel): P(Aâ©B) = P(A) · P_A(B) = 0,3 · 0,8 = 0,24.
Ein Test hat: P_krank(+) = 0,98 und P_gesund(+) = 0,05. P(krank) = 0,02. Berechne P(+) auf 4 Dezimalstellen.
ErklÀrung: P(+) = P(krank)·P_krank(+) + P(gesund)·P_gesund(+) = 0,02·0,98 + 0,98·0,05 = 0,0196 + 0,049 = 0,0686.
Bei absoluten HĂ€ufigkeiten in einer Vierfeldertafel: 40 von 200 Personen sind Aâ©B, Randsumme B = 80. Die bedingte relative HĂ€ufigkeit h_B(A) = ___.
ErklÀrung: h_B(A) = 40/80 = 0,5. Der Anteil von A innerhalb der Gruppe B.
In einer Stadt sind 100 von 10 000 Personen krank. Ein Test erkennt 90 der 100 Kranken (positiv) und schlÀgt bei 495 der 9 900 Gesunden fÀlschlich an. Herr Roth erhÀlt ein positives Ergebnis. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er krank?
ErklĂ€rung: Gesucht ist P_+(krank), nicht P_krank(+). Bedingung ist âTest positiv" â das sind 90 + 495 = 585 Personen, davon 90 krank. Die Trefferquote 90/100 beantwortet die umgekehrte Frage; 585/10 000 ist nur der Anteil der positiven Tests.
P(A) = 0,3; P(B) = 0,5; P(Aâ©B) = 0,15. Berechne P_A(B).
ErklĂ€rung: P_A(B) = P(Aâ©B)/P(A) = 0,15/0,3 = 0,5.
In einer KĂŒstenstadt steigen im Sommer der Eisverkauf und die Zahl der BadeunfĂ€lle gleichzeitig an. Daraus folgt: Eisessen verursacht BadeunfĂ€lle.
ErklĂ€rung: Falsch. Der gemeinsame Anstieg ist nur eine Korrelation â beide GröĂen hĂ€ngen von einer dritten ab (dem warmen Wetter). KausalitĂ€t erfordert den Nachweis, dass die eine GröĂe die andere tatsĂ€chlich verursacht.
Die Formel von Bayes lautet: P_B(A) = P(A) · P_A(B) / ___.
ErklĂ€rung: Satz von Bayes: P_B(A) = P(Aâ©B)/P(B) = P(A)·P_A(B)/P(B).
In einer Klasse: 60 % MÀdchen, 40 % Jungen. 30 % der MÀdchen und 20 % der Jungen mögen Mathe. Wie viel Prozent der Klasse mögen Mathe?
ErklÀrung: P(Mathe) = P(M)·P_M(Mathe) + P(J)·P_J(Mathe) = 0,6·0,3 + 0,4·0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26 = 26 %.