Bedingte Wahrscheinlichkeit

Conditional Probability

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben
StochastikWahrscheinlichkeitBayesKerncurriculum

P_B(A), P_A(B) und P(A∩B) sind drei verschiedene Zahlen — sie auseinanderzuhalten ist der Kern der bedingten Wahrscheinlichkeit. Baumdiagramm und Vierfeldertafel lassen sich flexibel wechseln; absolute (natürliche) Häufigkeiten machen das Umrechnen von P_A(B) auf P_B(A) durchschaubar (Gigerenzer). Zielscheibe ist der Umkehrfehler samt Basisratenvernachlässigung: Beim medizinischen Test wird P(krank|positiv) chronisch mit P(positiv|krank) verwechselt, obwohl beide weit auseinanderliegen können.

Voraussetzungen (1)

Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Stochastische Unabhängigkeit
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. B: „er fährt mit dem Rad zur Schule", A: „er trägt einen Helm". Welcher Anteil ist P_B(A)?

  • ● Der Anteil der Helmträger unter den Radfahrern.
  • ○ Der Anteil der Radfahrer unter den Helmträgern.
  • ○ Der Anteil der Radfahrer mit Helm an allen Schülern.
Der Index nennt die Bedingung: P_B(A) schränkt auf die Radfahrer (B) ein und fragt, wie oft darunter A eintritt. Der zweite Anteil wäre P_A(B), der dritte P(A∩B).
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

P(A∩B) = 0,12 und P(B) = 0,4. Berechne P_B(A).

✓ Antwort: 0.3
P_B(A) = P(A∩B)/P(B) = 0,12/0,4 = 0,3.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

In einer Vierfeldertafel steht in der Zelle (A, B) der Wert 30 und am Rand bei B die Summe 100. Was ist P_B(A)?

  • ● 0,30
  • ○ 0,03
  • ○ 0,70
P_B(A) = 30/100 = 0,30. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als Anteil der Zelle an der Randsumme der Bedingung.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Von 200 Schülern spielen 80 Fußball (F) und 50 Tennis (T). 20 spielen beides. Berechne P_F(T).

✓ Antwort: 0.25
P_F(T) = P(F∩T)/P(F) = (20/200)/(80/200) = 20/80 = 0,25.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Im Baumdiagramm gilt P(Regen) = 0,3 und P_Regen(Stau) = 0,8. Lena rechnet P(Regen ∩ Stau) = 0,3 · 0,8 = 0,24. Ihre Rechnung ist richtig.

✓ Wahr
Richtig. Entlang eines Pfades im Baumdiagramm multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel): P(A∩B) = P(A) · P_A(B) = 0,3 · 0,8 = 0,24.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Bei absoluten Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel: 40 von 200 Personen sind A∩B, Randsumme B = 80. Die bedingte relative Häufigkeit h_B(A) = ___.

✓ Antwort: 0,5
h_B(A) = 40/80 = 0,5. Der Anteil von A innerhalb der Gruppe B.
Zahleneingabe #7 15s ▶ Testen

P(A) = 0,3; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,15. Berechne P_A(B).

✓ Antwort: 0.5
P_A(B) = P(A∩B)/P(A) = 0,15/0,3 = 0,5.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

In einer Küstenstadt steigen im Sommer der Eisverkauf und die Zahl der Badeunfälle gleichzeitig an. Daraus folgt: Eisessen verursacht Badeunfälle.

✓ Falsch
Falsch. Der gemeinsame Anstieg ist nur eine Korrelation — beide Größen hängen von einer dritten ab (dem warmen Wetter). Kausalität erfordert den Nachweis, dass die eine Größe die andere tatsächlich verursacht.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

In einer Schule spielen 10 der 20 Fußballer auch Handball, also P_Fußball(Handball) = 0,5. Insgesamt gibt es 40 Handballer. Dann ist auch P_Handball(Fußball) = 0,5.

✓ Falsch
Falsch. Die Bezugsgruppe wechselt mit der Bedingung — P_Handball(Fußball) = 10/40 = 0,25, nicht 0,5. P_B(A) und P_A(B) sind im Allgemeinen verschieden.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

In einer medizinischen Studie ist P(krank) = 0,01 und P_krank(positiv) = 0,95. Dann ist P(krank ∩ positiv) = ___.

✓ Antwort: 0,0095
P(krank ∩ positiv) = P(krank) · P_krank(positiv) = 0,01 · 0,95 = 0,0095.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Gegeben sind P(A) = 0,2, P_A(B) = 0,9 und P(B) = 0,3. Welche Rechnung liefert P_B(A)?

  • ● P_B(A) = 0,2 · 0,9 / 0,3 = 0,6
  • ○ P_B(A) = P_A(B) = 0,9
  • ○ P_B(A) = 0,2 · 0,9 = 0,18
Umrechnen der Bedingungsrichtung geht über den Satz von Bayes: P_B(A) = P(A) · P_A(B) / P(B). P_A(B) einfach zu übernehmen verwechselt die beiden Richtungen; 0,2 · 0,9 ist erst P(A∩B) — die Division durch P(B) fehlt noch.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Ein Test hat: P_krank(+) = 0,98 und P_gesund(+) = 0,05. P(krank) = 0,02. Berechne P(+) auf 4 Dezimalstellen.

✓ Antwort: 0.0686
P(+) = P(krank)·P_krank(+) + P(gesund)·P_gesund(+) = 0,02·0,98 + 0,98·0,05 = 0,0196 + 0,049 = 0,0686.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

In einer Stadt sind 100 von 10 000 Personen krank. Ein Test erkennt 90 der 100 Kranken (positiv) und schlägt bei 495 der 9 900 Gesunden fälschlich an. Herr Roth erhält ein positives Ergebnis. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er krank?

  • ● 90 / 585 ≈ 0,15
  • ○ 90 / 100 = 0,90
  • ○ 585 / 10 000 ≈ 0,06
Gesucht ist P_+(krank), nicht P_krank(+). Bedingung ist „Test positiv" — das sind 90 + 495 = 585 Personen, davon 90 krank. Die Trefferquote 90/100 beantwortet die umgekehrte Frage; 585/10 000 ist nur der Anteil der positiven Tests.
Lückentext #6 20s ▶ Testen

Die Formel von Bayes lautet: P_B(A) = P(A) · P_A(B) / ___.

✓ Antwort: P(B)
Satz von Bayes: P_B(A) = P(A∩B)/P(B) = P(A)·P_A(B)/P(B).
Zahleneingabe #7 30s ▶ Testen

In einer Klasse: 60 % Mädchen, 40 % Jungen. 30 % der Mädchen und 20 % der Jungen mögen Mathe. Wie viel Prozent der Klasse mögen Mathe?

✓ Antwort: 26
P(Mathe) = P(M)·P_M(Mathe) + P(J)·P_J(Mathe) = 0,6·0,3 + 0,4·0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26 = 26 %.