Berechne den Differenzenquotienten von f(x) = x² auf dem Intervall [1; 3].

Erklärung: (f(3)−f(1))/(3−1) = (9−1)/2 = 8/2 = 4.

Der Differenzenquotient heißt im Sachzusammenhang mittlere ___.

Erklärung: Im Sachzusammenhang heißt der Differenzenquotient mittlere Änderungsrate, z. B. die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Ein Auto legt in 2 Stunden 160 km zurück. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der zurückgelegten Strecke?

Erklärung: Die mittlere Änderungsrate ist der Differenzenquotient Δs/Δt = 160/2 = 80 km/h — die Durchschnittsgeschwindigkeit, nicht die Momentangeschwindigkeit. Wer 320 erhält, hat multipliziert statt dividiert; 158 ist die Differenz statt des Quotienten.

f(x) = 3x². Berechne den Differenzenquotienten auf [2; 5].

Erklärung: (f(5)−f(2))/(5−2) = (75−12)/3 = 63/3 = 21.

Eine Straße steigt auf 500 m horizontaler Entfernung um 40 m. Die mittlere Steigung beträgt:

Erklärung: Mittlere Steigung = 40/500 = 0,08 = 8 %. Das ist die mittlere Änderungsrate des Höhenprofils.

Wie groß ist die Steigung der abgebildeten Sekante durch die markierten Punkte A und B?

Erklärung: A liegt bei (1 | 2), B bei (3 | 8): Δy = 8 − 2 = 6 und Δx = 3 − 1 = 2, also m = 6/2 = 3. Die 6 ist nur Δy, die 4 bildet die Differenz 6 − 2 statt des Quotienten.

Wie groß ist die Steigung der abgebildeten Sekante durch P und Q (aus dem Gitter abgelesen)?

Erklärung: P liegt bei (−1 | −2,5), Q bei (1 | 0,5): Δy = 0,5 − (−2,5) = 3 und Δx = 1 − (−1) = 2, also m = 3/2 = 1,5. Die 3 ist nur Δy, die 1 rechnet Δy − Δx.

Die abgebildete Sekante durch die Graphenpunkte C(2 | 1) und D(6 | 9) hat die Steigung (1 − 9)/(6 − 2).

Erklärung: Beide Differenzen müssen in derselben Reihenfolge gebildet werden: Ende minus Anfang gibt (9 − 1)/(6 − 2) = 2. Mit (1 − 9)/(6 − 2) = −2 steht im Zähler die verdrehte Reihenfolge; die Sekante steigt aber, ihre Steigung ist positiv.

Berechne die Steigung der Sekante durch die abgebildeten Graphenpunkte E und F.

Erklärung: E liegt bei (1 | 1), F bei (5 | 11): Δy = 11 − 1 = 10 und Δx = 5 − 1 = 4, also m = 10/4 = 2,5.

Die abgebildete Sekante geht durch die Graphenpunkte A und B. Berechne ihre Steigung.

Erklärung: A liegt bei (−2 | 3), B bei (1 | −3): Δy = −3 − 3 = −6 und Δx = 1 − (−2) = 3, also m = −6/3 = −2. Die Sekante fällt, das Vorzeichen ist negativ.

g(x) = x². Wie groß ist der Differenzenquotient auf [2; 4] (Sekante durch die markierten Punkte)?

Erklärung: g(4) − g(2) = 16 − 4 = 12, geteilt durch 4 − 2 = 2 gibt 6. Die 12 ist nur Δy, die 4 teilt die Funktionswerte (16 : 4) statt ihre Differenz durch Δx.

Für f(x) = 2x + 1 hat der Differenzenquotient auf [0; 1] denselben Wert wie auf [3; 7].

Erklärung: Auf [0; 1]: (3 − 1)/1 = 2. Auf [3; 7]: (15 − 7)/4 = 2. Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, deshalb ist ihr Differenzenquotient auf jedem Intervall derselbe.

f(x) = x², x₀ = 2 und Δx = 0,5. Berechne den Differenzenquotienten (f(x₀ + Δx) − f(x₀))/Δx.

Erklärung: f(2,5) = 6,25 und f(2) = 4, also (6,25 − 4)/0,5 = 2,25/0,5 = 4,5.

Die Abbildung zeigt den Fallweg s eines Steins in m nach t Sekunden. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 2 s und t = 4 s (in m/s)?

Erklärung: Bei t = 2 s sind es 20 m, bei t = 4 s sind es 80 m: Δs = 60 m in Δt = 2 s, also 60/2 = 30 m/s.

Das Wasservolumen eines Beckens wächst nach V(t) = t² + 2t (t in Minuten, V in Litern). Wie groß ist die mittlere Änderungsrate auf [1; 4] (in Litern pro Minute)?

Erklärung: V(4) = 24 und V(1) = 3, also (24 − 3)/(4 − 1) = 21/3 = 7 Liter pro Minute.

Ein Sprinter legt 100 m in 10 s zurück. Welche Aussage ist sicher richtig?

Erklärung: Sicher ist nur die mittlere Rate 100 m : 10 s = 10 m/s. Wie schnell er in einer einzelnen Sekunde war oder wo er nach 5 s stand, sagt der Durchschnitt nicht.

Die abgebildete Sekante durch P und Q ist waagerecht, also verläuft auch der Graph zwischen P und Q waagerecht.

Erklärung: Die Sekante vergleicht nur die Höhen von P und Q (beide 0,5). Dazwischen hängt der Graph bis etwa 0,31 durch: Mittlere Änderungsrate 0 heißt nicht, dass sich f dazwischen nicht ändert.

Im Mittel 80 km/h heißt nicht: Das Auto fuhr ___ 80 km/h.

Erklärung: Die mittlere Geschwindigkeit ist ein Durchschnitt über das ganze Intervall; das Auto kann zwischendurch schneller oder langsamer gewesen sein.

Ein Radfahrer fährt 1 Stunde lang mit 30 km/h und danach 3 Stunden lang mit 10 km/h. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit über alle 4 Stunden (in km/h)?

Erklärung: Strecke: 30 km + 30 km = 60 km in 4 h, also 60/4 = 15 km/h. Der Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten (20) ist falsch, weil die Zeiten verschieden lang sind.

Ein Stein fällt nach s(t) = 5t² (t in s, s in m). Berechne die mittlere Geschwindigkeit in den Intervallen [0; 1], [1; 2] und [0; 2]. Vergleiche die Werte und begründe damit, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit über [0; 2] nicht in jedem Zeitpunkt gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Jeweils (s(b) − s(a))/(b − a): 5, 15 und 10 m/s. Weil die beiden Teilabschnitte verschieden schnell sind, gilt der Durchschnitt 10 m/s an keinem einzelnen Zeitpunkt.

Wie groß ist die Steigung der Geraden durch (1 | 2) und (3 | 8)?

(8 − 2) : (3 − 1) = 6 : 2 = 3.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 3?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (9 − 1) : (3 − 1) = 4.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 2 und x₁ = 5?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (25 − 4) : (5 − 2) = 7.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 2?

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (4 − 1) : (2 − 1) = 3.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 3 und x₁ = 4?

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (16 − 9) : (4 − 3) = 7.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 1,1?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (1,21 − 1) : (1,1 − 1) = 2,1.

f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 2 und x₁ = 2,1?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (4,41 − 4) : (2,1 − 2) = 4,1.

Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden. Zeigt sein Tacho dann die ganze Zeit 60 km/h?

Nein: 60 km/h ist die mittlere Geschwindigkeit. Zwischendurch fährt es schneller und langsamer.

Eine Pflanze wächst in 10 Tagen 20 cm. Wächst sie dann an jedem Tag genau 2 cm?

Nein: 2 cm pro Tag ist die mittlere Änderungsrate. An einzelnen Tagen kann es mehr oder weniger sein.

f(x) = x² − 4x. Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 0 und x₁ = 2?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (−4 − 0) : (2 − 0) = −2.

f(x) = x² − 6x. Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 0 und x₁ = 3?

Das ist nur der Unterschied der y-Werte. Teile noch durch x₁ − x₀.

(f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) = (−9 − 0) : (3 − 0) = −3.

Ein Ballon steigt; seine Höhe ist h(t) = t² (in m, t in s). Wie viel Meter pro Sekunde steigt er im Mittel zwischen t = 2 und t = 4?

Teile noch durch die Zeit: 4 − 2 = 2 Sekunden.

(16 − 4) : (4 − 2) = 12 : 2 = 6.

Ein Stein fällt; seine Fallstrecke ist s(t) = 5t² (in m, t in s). Wie viel Meter pro Sekunde fällt er im Mittel zwischen t = 1 und t = 3?

Teile noch durch die Zeit: 3 − 1 = 2 Sekunden.

(45 − 5) : (3 − 1) = 40 : 2 = 20.

Aufgabe 1 von 33