Differenzenquotient
Difference Quotient
Der Differenzenquotient Δy/Δx = (f(x₁) − f(x₀))/(x₁ − x₀) ist die Steigung der Sekante durch zwei Graphenpunkte und zugleich die mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall [x₀; x₁]: im Sachkontext etwa die Durchschnittsgeschwindigkeit oder die mittlere Steigung einer Straße. Die Station rechnet ihn aus und deutet ihn mit Einheit. Sie räumt aus, Δy allein oder eine Differenz statt des Quotienten zu nehmen, und die Gleichsetzung von „im Mittel 80 km/h“ mit „immer 80 km/h“ (Orton 1983; Greefrath u. a. 2016). Bereitet den Grenzübergang Δx → 0 und damit die momentane Änderungsrate vor.
Sekantensteigung
Das Steigungsdreieck aus dem vorigen Abschnitt passt auch zwischen zwei Punkte der Kurve (grün in der Figur): Von
Die
Das ist der
Mittlere Änderungsrate
Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos vom Anfang (160 km in 2 Stunden = 80 km/h) ist ein
Das Auto fahre nach
Im Bild fährt das Auto auf der s-Achse mit: Die beiden Punkte dort sind seine Orte zu den Zeiten
Stell
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (1)
Ein Auto legt in 2 Stunden 160 km zurück. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der zurückgelegten Strecke?
Eine Straße steigt auf 500 m horizontaler Entfernung um 40 m. Die mittlere Steigung beträgt:
Wie groß ist die Steigung der abgebildeten Sekante durch die markierten Punkte A und B?
Wie groß ist die Steigung der abgebildeten Sekante durch P und Q (aus dem Gitter abgelesen)?
Die abgebildete Sekante durch die Graphenpunkte C(2 | 1) und D(6 | 9) hat die Steigung (1 − 9)/(6 − 2).
g(x) = x². Wie groß ist der Differenzenquotient auf [2; 4] (Sekante durch die markierten Punkte)?
Für f(x) = 2x + 1 hat der Differenzenquotient auf [0; 1] denselben Wert wie auf [3; 7].
Ein Sprinter legt 100 m in 10 s zurück. Welche Aussage ist sicher richtig?
Die abgebildete Sekante durch P und Q ist waagerecht, also verläuft auch der Graph zwischen P und Q waagerecht.
Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden. Zeigt sein Tacho dann die ganze Zeit 60 km/h?
Eine Pflanze wächst in 10 Tagen 20 cm. Wächst sie dann an jedem Tag genau 2 cm?
Berechne den Differenzenquotienten von f(x) = x² auf dem Intervall [1; 3].
Der Differenzenquotient heißt im Sachzusammenhang mittlere ___.
f(x) = 3x². Berechne den Differenzenquotienten auf [2; 5].
Berechne die Steigung der Sekante durch die abgebildeten Graphenpunkte E und F.
Die Abbildung zeigt den Fallweg s eines Steins in m nach t Sekunden. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 2 s und t = 4 s (in m/s)?
Im Mittel 80 km/h heißt nicht: Das Auto fuhr ___ 80 km/h.
Wie groß ist die Steigung der Geraden durch (1 | 2) und (3 | 8)?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 3?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 2 und x₁ = 5?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 2?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 3 und x₁ = 4?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 1 und x₁ = 1,1?
f(x) = x². Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 2 und x₁ = 2,1?
f(x) = x² − 4x. Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 0 und x₁ = 2?
f(x) = x² − 6x. Wie groß ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x₀ = 0 und x₁ = 3?
Ein Ballon steigt; seine Höhe ist h(t) = t² (in m, t in s). Wie viel Meter pro Sekunde steigt er im Mittel zwischen t = 2 und t = 4?
Ein Stein fällt; seine Fallstrecke ist s(t) = 5t² (in m, t in s). Wie viel Meter pro Sekunde fällt er im Mittel zwischen t = 1 und t = 3?
Die abgebildete Sekante geht durch die Graphenpunkte A und B. Berechne ihre Steigung.
f(x) = x², x₀ = 2 und Δx = 0,5. Berechne den Differenzenquotienten (f(x₀ + Δx) − f(x₀))/Δx.
Das Wasservolumen eines Beckens wächst nach V(t) = t² + 2t (t in Minuten, V in Litern). Wie groß ist die mittlere Änderungsrate auf [1; 4] (in Litern pro Minute)?
Ein Radfahrer fährt 1 Stunde lang mit 30 km/h und danach 3 Stunden lang mit 10 km/h. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit über alle 4 Stunden (in km/h)?
Ein Stein fällt nach s(t) = 5t² (t in s, s in m). Berechne die mittlere Geschwindigkeit in den Intervallen [0; 1], [1; 2] und [0; 2]. Vergleiche die Werte und begründe damit, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit über [0; 2] nicht in jedem Zeitpunkt gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.