Differenzenquotient und Ableitung
Ein Auto fährt in 2 Stunden 160 km weit. Was sagt der Differenzenquotient 160 km / 2 h = 80 km/h aus?
Erklärung: Der Differenzenquotient ist eine mittlere Änderungsrate — unterwegs kann das Auto mal schneller, mal langsamer gewesen sein.
Die Sekante durch die Graphenpunkte (1|5) und (4|11) einer Funktion f hat die Steigung 2. Dann ist 2 auch die mittlere Änderungsrate von f auf [1; 4].
Erklärung: Richtig — mittlere Änderungsrate und Sekantensteigung sind zwei Sichtweisen auf denselben Differenzenquotienten (11 − 5)/(4 − 1) = 2.
Der Differenzenquotient von f auf dem Intervall [a; b] lautet: (f(b) − f(a)) / ___.
Erklärung: Änderung der Funktionswerte geteilt durch Änderung der x-Werte — „Δy durch Δx".
f(x) = x². Wie groß ist die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [1; 3]?
Erklärung: (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (9 − 1) / 2 = 4. Wer 8 erhält, hat nur Δy berechnet und nicht durch Δx geteilt; 2 ist nur Δx.
Für die Höhe s(t) eines Bambus (in cm, t in Tagen) gilt s′(10) = 4. Damit wächst der Bambus am Tag 10 momentan mit 4 cm pro Tag.
Erklärung: Richtig — die Ableitung s′(10) ist die momentane (lokale) Änderungsrate an der Stelle t = 10, nicht die Höhe s(10) selbst.
Der Wasserstand eines Beckens (in cm) hängt von der Zeit t (in Minuten) ab. Es gilt h′(3) = 2. Was bedeutet das?
Erklärung: h′(3) ist die lokale Änderungsrate bei t = 3 — nicht der Bestand h(3) und keine Aussage über andere Zeitpunkte.
Eine Läuferin schafft 10 km in 50 Minuten. Damit kennt man ihre Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt des Laufs.
Erklärung: Falsch. 10 km / 50 min ist nur der Durchschnitt. Für die momentane Geschwindigkeit braucht man immer kleinere Zeitabschnitte — genau dafür gibt es die Ableitung.
Für f(x) = x³ gilt an der Stelle x₀ = 1 der Differenzenquotient (f(1 + h) − f(1))/h = 3 + 3h + h². Welchen Wert hat f′(1)?
Erklärung: Beim Grenzübergang h → 0 wird aus 3 + 3h + h² der Wert 3 — der Differentialquotient. Der Quotient wird nicht 0, obwohl h gegen 0 geht; 1 wäre der Funktionswert f(1), nicht die Steigung.
Die Ableitung ist definiert als Grenzwert: f′(x₀) = lim (h → 0) von (f(x₀ + h) − f(x₀)) / ___.
Erklärung: Der Differenzenquotient mit Δx = h — sein Grenzwert für h → 0 ist der Differentialquotient.
Jana will f′(x₀) bestimmen und setzt im Differenzenquotienten (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h sofort h = 0 ein. Sie erhält 0/0. Ihr Vorgehen war richtig.
Erklärung: Falsch — 0/0 ist nicht definiert. Man braucht den Grenzwert h → 0, bei dem sich h vorher herauskürzen lässt; erst danach darf man h gegen 0 gehen lassen.
Die Temperatur folgt T(t), t in Stunden. Um 12 Uhr gilt T′(12) = −1,5 (°C pro Stunde). Was heißt das?
Erklärung: Das negative Vorzeichen bedeutet Abnahme; T′(12) ist die momentane Änderungsrate, nicht der Temperaturwert.
f(x) = x², Stelle x₀ = 2. Die Sekantensteigungen sind: für h = 1 der Wert 5, für h = 0,1 der Wert 4,1, für h = 0,01 der Wert 4,01. Was liegt nahe?
Erklärung: Die Sekantensteigungen streben für h → 0 gegen 4 — das ist der Differentialquotient an der Stelle 2. 5 ist nur die grobe Sekantensteigung für h = 1; 0 verwechselt „h wird 0" mit „die Steigung wird 0".
Beim freien Fall gilt s(t) = 5t² (Weg in m, t in Sekunden). Die mittlere Geschwindigkeit der ersten 2 Sekunden beträgt 10 m/s. Also ist auch die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 gleich 10 m/s.
Erklärung: Falsch. Die mittlere Rate mittelt über das ganze Intervall, die lokale gilt für einen Zeitpunkt — hier ist s′(2) = 20 m/s. Nur bei linearen Funktionen stimmen beide stets überein.
Für die lineare Funktion f(x) = 3x + 1 hat der Differenzenquotient auf jedem Intervall denselben Wert ___.
Erklärung: Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung — mittlere und lokale Änderungsrate fallen zusammen.