Differenzenquotient und Ableitung
Difference Quotient and Derivative
Die zweite Grundvorstellung der Ableitung neben der Tangentensteigung: die lokale Änderungsrate (Greefrath u. a. 2016). Mittlere Änderungsraten in Sachkontexten (Geschwindigkeit, Wasserstand, Temperatur) werden als Differenzenquotient gedeutet, der Grenzübergang h → 0 macht daraus die momentane Rate f′(x₀) — samt Einheiten-Deutung („cm pro Minute zum Zeitpunkt t"). Zielscheibe ist der von Orton (1983) dokumentierte Befund, dass Lernende Ableitungen berechnen können, ohne sie als Änderungsrate deuten zu können, und die Verwechslung von Bestand f(x₀) und Rate f′(x₀).
Du hast gelernt, wie man die
In der
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Ein Auto fährt in 2 Stunden 160 km weit. Was sagt der Differenzenquotient 160 km / 2 h = 80 km/h aus?
Die Sekante durch die Graphenpunkte (1|5) und (4|11) einer Funktion f hat die Steigung 2. Dann ist 2 auch die mittlere Änderungsrate von f auf [1; 4].
Der Differenzenquotient von f auf dem Intervall [a; b] lautet: (f(b) − f(a)) / ___.
f(x) = x². Wie groß ist die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [1; 3]?
Für die Höhe s(t) eines Bambus (in cm, t in Tagen) gilt s′(10) = 4. Damit wächst der Bambus am Tag 10 momentan mit 4 cm pro Tag.
Eine Läuferin schafft 10 km in 50 Minuten. Damit kennt man ihre Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt des Laufs.
Für f(x) = x³ gilt an der Stelle x₀ = 1 der Differenzenquotient (f(1 + h) − f(1))/h = 3 + 3h + h². Welchen Wert hat f′(1)?
Die Ableitung ist definiert als Grenzwert: f′(x₀) = lim (h → 0) von (f(x₀ + h) − f(x₀)) / ___.
Für die lineare Funktion f(x) = 3x + 1 hat der Differenzenquotient auf jedem Intervall denselben Wert ___.
Der Wasserstand eines Beckens (in cm) hängt von der Zeit t (in Minuten) ab. Es gilt h′(3) = 2. Was bedeutet das?
Jana will f′(x₀) bestimmen und setzt im Differenzenquotienten (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h sofort h = 0 ein. Sie erhält 0/0. Ihr Vorgehen war richtig.
Die Temperatur folgt T(t), t in Stunden. Um 12 Uhr gilt T′(12) = −1,5 (°C pro Stunde). Was heißt das?
f(x) = x², Stelle x₀ = 2. Die Sekantensteigungen sind: für h = 1 der Wert 5, für h = 0,1 der Wert 4,1, für h = 0,01 der Wert 4,01. Was liegt nahe?
Beim freien Fall gilt s(t) = 5t² (Weg in m, t in Sekunden). Die mittlere Geschwindigkeit der ersten 2 Sekunden beträgt 10 m/s. Also ist auch die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 gleich 10 m/s.